【題目】在數(shù)列{an}中,若an2an12p,(n≥2,nN*,p為常數(shù)),則稱{an}等方差數(shù)列,下列是對(duì)等方差數(shù)列的判斷:

①若{an}是等方差數(shù)列,則{an2}是等差數(shù)列;

{(﹣1n}是等方差數(shù)列;

③若{an}是等方差數(shù)列,則{akn}kN*,k為常數(shù))也是等方差數(shù)列;

④若{an}既是等方差數(shù)列,又是等差數(shù)列,則該數(shù)列為常數(shù)列.

其中正確命題的個(gè)數(shù)是(

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

利用等方差數(shù)列的定義與等差數(shù)列的定義判斷①;利用等方差數(shù)列的定義判斷②;先表示出{akn}的通項(xiàng)公式,然后利用等方差的定義進(jìn)行判斷③;利用等方差數(shù)列和等差數(shù)列的定義判斷④.

①若數(shù)列{an}是等方差數(shù)列,則有pnN*,且n≥2),

則數(shù)列{}是公差為p的等差數(shù)列,故①正確;

②數(shù)列{(﹣1n}中,an2an12[(﹣1n]2[(﹣1n1]20,(n≥2,nN*),

∴數(shù)列{(﹣1n}是等方差數(shù)列,故②正確;

③數(shù)列{an}中的項(xiàng)列舉出來是:a1,a2,ak,a2k,

數(shù)列{akn}中的項(xiàng)列舉出來是:aka2k,a3k,

∵(ak+12ak2)=(ak+22ak+12)=a2k2a2k12p

∴(ak+12ak2+ak+22ak+12+…+a2k2a2k12)=kp

akn+12akn2kp,即數(shù)列{akn}是等方差數(shù)列,故③正確;

④∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列,∴anan1d1n≥2).

∵數(shù)列{an}是等方差數(shù)列,∴an2an12d2n≥2),

∴(an+an1d1d2,

∴當(dāng)d1≠0時(shí),為常數(shù)列;

當(dāng)d10,數(shù)列{an}為常數(shù)列.

則該數(shù)列{an}必為常數(shù)列,故④正確.

∴正確命題的個(gè)數(shù)是4個(gè).

故選:D

本題考查新定義以及等差數(shù)列的定義及其應(yīng)用,考查邏輯思維能力與推理論證能力,是中檔題.

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A.78B.60C.48D.36

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