Question

（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)（a、b、c、d∈R）圖象關(guān)于原點對稱，且x=1時，取極小值．

       （Ⅰ）求函數(shù)的解析式；

       （Ⅱ）若對任意的，恒有成立，求的取值范圍；

       （Ⅲ）當(dāng)時，函數(shù)圖象上是否存在兩點，使得過此兩點處的切線互相垂直？試證明你的結(jié)論；

       （IV）設(shè)表示的曲線為G，過點作曲線G的切線，求的方程．

Answer 1

（Ⅰ）   （Ⅱ）      （IV）

解析:

（Ⅰ）∵對任意實數(shù)，

       ∴，

    即恒成立，，     ，

       時，取極小值，解得，       ∴所求的函數(shù)解析式即為；                            ……4分

       （Ⅱ）由已知，，     ∴在區(qū)間上的最小值為，

       依題意恒成立，∴，

       解得即為所求的范圍；                                                      …………7分

       （Ⅲ）假設(shè)圖象上存在兩點、，使得過此兩點處的切線互相垂直，

       則由知兩點處的切線斜率分別，

       且，、，，矛盾，故假設(shè)不成立，

       ∴當(dāng)時，圖象上不存在這樣的兩點使結(jié)論成立；                …………10分

       （IV）設(shè)切點為P，切線方程則為，

       且，消去得，

       ∴，∴，，

       即切點為（3，6），∴所求的切線方程為；  …………14分