【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，離心率是，P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)取最大值時(shí)，的面積是

（1）求橢圓的方程：

（2）若動(dòng)直線l與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，且恒有，是否存在一個(gè)以原點(diǎn)O為圓心的定圓C，使得動(dòng)直線l始終與定圓C相切？若存在，求圓C的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

【答案】（1）；（2）存在，

【解析】

（1）根據(jù)余弦定理和基本不等式確定點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，取最大值，再根據(jù)三角形面積及，求得，，，即可得到答案；

（2）對(duì)直線的斜率分存在和不存在兩種情況討論，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及韋達(dá)定理可得，即可得到答案；

（1）依題意可得，

設(shè)，由余弦定理可知：，

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)（即P為橢圓短軸端點(diǎn)）時(shí)等號(hào)成立，且取最大值；

此時(shí)的面積是，

同時(shí)，聯(lián)立和

解得，，，

所以橢圓方程為.

（2）當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，直線l的方程為，

所以，，此時(shí)，

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，

原點(diǎn)O到直線1的距離為d，所以，

整理得，

由，可得，

，

，

， ，恒成立，

即恒成立 ，

所以，所以，

所以定圓C的方程是

所以當(dāng)時(shí) ， 存在定圓C始終與直線l相切 ，

其方程是.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)（），若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，．

（1）討論函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)在處取得極大值，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某企業(yè)批量生產(chǎn)了一種汽車配件，總數(shù)為，配件包裝上標(biāo)有從1到的連續(xù)自然數(shù)序號(hào)，為對(duì)配件總數(shù)進(jìn)行估計(jì)，質(zhì)檢員隨機(jī)抽取了個(gè)配件，序號(hào)從小到大依次為，，…，，這個(gè)序號(hào)相當(dāng)于從區(qū)間上隨機(jī)抽取了個(gè)整數(shù)，這個(gè)整數(shù)將區(qū)間分為個(gè)小區(qū)間，，…，．由于這個(gè)整數(shù)是隨機(jī)抽取的，所以前個(gè)區(qū)間的平均長(zhǎng)度與所有個(gè)區(qū)間的平均長(zhǎng)度近似相等，進(jìn)而可以得到的估計(jì)值．已知，質(zhì)檢員隨機(jī)抽取的配件序號(hào)從小到大依次為83，135，274，…，3104．

（1）用上面的方法求的估計(jì)值．

（2）將（1）中的估計(jì)值作為這批汽車配件的總數(shù)，從中隨機(jī)抽取100個(gè)配件測(cè)量其內(nèi)徑（單位：），繪制出頻率分布直方圖如下：

將這100個(gè)配件的內(nèi)徑落入各組的頻率視為這個(gè)配件內(nèi)徑分布的概率，已知標(biāo)準(zhǔn)配件的內(nèi)徑為200，把這個(gè)配件中內(nèi)徑長(zhǎng)度最接近標(biāo)準(zhǔn)配件內(nèi)徑長(zhǎng)度的800個(gè)配件定義為優(yōu)等品，求優(yōu)等品配件內(nèi)徑的取值范圍（結(jié)果保留整數(shù)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)在雙曲線上，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，下列結(jié)論正確的是（ ）

A.的離心率為

B.的漸近線方程為

C.動(dòng)點(diǎn)到兩條漸近線的距離之積為定值

D.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在雙曲線的左支上時(shí)，的最大值為

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某企業(yè)為確定下一年投入某種產(chǎn)品的研發(fā)費(fèi)用，需了解年研發(fā)費(fèi)用（單位：千萬(wàn)元）對(duì)年銷售量（單位：千萬(wàn)件）的影響，統(tǒng)計(jì)了近年投入的年研發(fā)費(fèi)用與年銷售量的數(shù)據(jù)，得到散點(diǎn)圖如圖所示．

(1)利用散點(diǎn)圖判斷和（其中均為大于的常數(shù)）哪一個(gè)更適合作為年銷售量和年研發(fā)費(fèi)用的回歸方程類型（只要給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）

(2)對(duì)數(shù)據(jù)作出如下處理，令，得到相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值如下表：根據(jù)第(1)問(wèn)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求關(guān)于的回歸方程；

15

15

28.25

56.5

(3)已知企業(yè)年利潤(rùn)（單位：千萬(wàn)元）與的關(guān)系為（其中），根據(jù)第(2)問(wèn)的結(jié)果判斷，要使得該企業(yè)下一年的年利潤(rùn)最大，預(yù)計(jì)下一年應(yīng)投入多少研發(fā)費(fèi)用?

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）若，求函數(shù)在處的切線方程；

（2）若函數(shù)在定義域上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）設(shè)函數(shù)在區(qū)間)上存在極值，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知F是拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)，過(guò)E（0，﹣1）的直線l與拋物線分別交于A，B兩點(diǎn)．

（1）設(shè)直線AF，BF的斜率分別為k1，k2，證明：k1+k2＝0；

（2）若的面積為，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.

（Ⅰ）求直線的直角坐標(biāo)方程和曲線的普通方程；

（Ⅱ）求曲線上的動(dòng)點(diǎn)到直線距離的最大值.

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