將數(shù)列{an}中的所有項(xiàng)按第一排三項(xiàng),以下每一行比上一行多一項(xiàng)的規(guī)則排成如下數(shù)表:記表中的第一列數(shù)a1,a4,a8,…構(gòu)成的數(shù)列為{bn},已知:
①在數(shù)列{bn}中,b1=1,對(duì)于任何n∈N*,都有(n+1)bn+1-nbn=0;
②表中每一行的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成公比為q(q>0)的等比數(shù)列;
a1   a2   a3
a4   a5   a6   a7
a8   a9   a10  a11  a12

a66=
2
5
.請(qǐng)解答以下問題:
(Ⅰ)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求上表中第k(k∈N*)行所有項(xiàng)的和S(k);
(Ⅲ)若關(guān)于x的不等式S(k)+
1
k
1-x2
x
x∈[
1
200
 , 
1
20
]
上有解,求正整數(shù)k的取值范圍.
分析:(Ⅰ)將nbn看作整體,由(n+1)bn+1=nbn=0可得數(shù)列{nbn}是常數(shù)列,項(xiàng)值為1×b1=1,∴nbn=1,∴bn=
1
n

(Ⅱ)由a66=
2
5
,a66在表中第十行第三列,即其在以b10為首項(xiàng)的,公比為q的數(shù)列的第三項(xiàng).按照等比數(shù)列通項(xiàng)公式列出方程 再解出q,便可求各行數(shù)據(jù)之和.
(Ⅲ)依題意,正整數(shù)k的取值使S(k)+
1
k
的最小值大于
1-x2
x
, x∈[
1
200
,
1
20
]
的最小值即可.
解答:解:(Ⅰ)由(n+1)bn+1-nbn=0,得數(shù)列{nbn}為常數(shù)列.故nbn=1•b1=1,所以bn=
1
n
.      
(Ⅱ)∵3+4+…+11=63,
∴表中第一行至第九行共含有{an}的前63項(xiàng),a66在表中第十行第三列.        
故a66=b10•q2,而b10=
1
10
,∴q=2.                           
S(k)=
bk( 1-qk+2)
1-q
=
1
k
2k+2-1 )
.                           
(Ⅲ)f(x)=
1-x2
x
=
1
x
-x
x∈[
1
200
 , 
1
20
]
上單調(diào)遞減,
故f(x)的最小值是f(
1
20
)=20-
1
20
.                                        
若關(guān)于x的不等式S(k)+
1
k
1-x2
x
x∈[
1
200
 , 
1
20
]
上有解,
設(shè)m(k)=S(k)+
1
k
=
1
k
2k+2
,則必須m(k)>20-
1
20
.             
m(k+1)-m(k)=
1
k+1
2k+3-
1
k
2k+2=
2k+2( k-1 )
k ( k+1 )
≥0
(或
m(k+1)
m(k)
=
2k
k+1
≥1

∴m(1)=m(2)=8,函數(shù)m(k)當(dāng)k≥2且k∈N*時(shí)單調(diào)遞增.            
而m(4)=16,m(5)=
128
5
20-
1
20
,所以k的取值范圍是大于4的一切正整數(shù).
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的概念,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和,函數(shù)的單調(diào)性及最值等知識(shí),考查閱讀,分析解決問題,計(jì)算等能力.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)將數(shù)列{an}中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多一項(xiàng)的規(guī)則排成如下表:
記表中的第一列數(shù)a1,a2,a4,a7,…,構(gòu)成的數(shù)列為{bn},b1=a1=1,Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,且滿足
2bn
bnSn-
S
2
n
=1(n≥2)

(1)求證數(shù)列{
1
Sn
}
成等差數(shù)列,并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)上表中,若a81項(xiàng)所在行的數(shù)按從左到右的順序構(gòu)成等比數(shù)列,且公比q為正數(shù),求當(dāng)a81=-
4
91
時(shí),公比q的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知整數(shù)數(shù)列{an}滿足:a1=1,a2=2,且2an-1<an-1+an+1<2an+1(n∈N,n≥2).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)將數(shù)列{an}中的所有項(xiàng)依次按如圖所示的規(guī)律循環(huán)地排成如下三角形數(shù)表:
精英家教網(wǎng)

依次計(jì)算各個(gè)三角形數(shù)表內(nèi)各行中的各數(shù)之和,設(shè)由這些和按原來行的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為{bn},求b5+b100的值;
(3)令cn=2+ban+b•2an-1(b為大于等于3的正整數(shù)),問數(shù)列{cn}中是否存在連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列?若存在,求出所有成等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

將數(shù)列{an}中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多一項(xiàng)的規(guī)則排成如下數(shù)表.記表中第一列數(shù)a1,a2,a4,a7,…構(gòu)成的數(shù)列為{bn},b1=a1=1.Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,且滿足2bn=bnSn-Sn2(n≥2,n∈N*).
(1)證明數(shù)列{
1
Sn
}是等差數(shù)列,并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)圖中,若從第三行起,每一行中的數(shù)按從左到右的順序構(gòu)成等比數(shù)列,且公比為同一個(gè)正數(shù).當(dāng)a81=-
4
91
時(shí),求上表中第k(k≥3)行所有數(shù)的和.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

將數(shù)列{an}中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多一項(xiàng)的規(guī)則排成如下表:
記表中的第一列數(shù)a1,a2,a4,a7,…,構(gòu)成的數(shù)列為{bn},b1=a1=1,Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,且滿足數(shù)學(xué)公式
(1)求證數(shù)列數(shù)學(xué)公式成等差數(shù)列,并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)上表中,若a81項(xiàng)所在行的數(shù)按從左到右的順序構(gòu)成等比數(shù)列,且公比q為正數(shù),求當(dāng)數(shù)學(xué)公式時(shí),公比q的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年江蘇省淮安市洪澤中學(xué)高考數(shù)學(xué)模擬試卷(3)(解析版) 題型:解答題

已知整數(shù)數(shù)列{an}滿足:a1=1,a2=2,且2an-1<an-1+an+1<2an+1(n∈N,n≥2).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)將數(shù)列{an}中的所有項(xiàng)依次按如圖所示的規(guī)律循環(huán)地排成如下三角形數(shù)表:


依次計(jì)算各個(gè)三角形數(shù)表內(nèi)各行中的各數(shù)之和,設(shè)由這些和按原來行的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為{bn},求b5+b100的值;
(3)令(b為大于等于3的正整數(shù)),問數(shù)列{cn}中是否存在連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列?若存在,求出所有成等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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