解:法一:(I)證明:如圖:在△ABC中,由E、F分別是AC、BC中點,
得EF//AB,又AB
平面DEF,EF
平面DEF.
∴AB∥平面DEF. ………………………………………………3分
(II)∵AD⊥CD,BD⊥CD
∴∠ADB是二面角A—CD—B的平面角
∴AD⊥BD ∴AD⊥平面BCD
取CD的中點M,這時EM∥AD ∴EM⊥平面BCD
過M作MN⊥DF于點N,連結EN,則EN⊥DF
∴∠MNE是二面角E—DF—C的平面角, …………………………………6分
在Rt△EMN中,EM=1,MN=
∴tan∠MNE=
,cos∠MNE=
. ……………………………………8分
(Ⅲ)在線段BC上存在點P,使AP⊥DE ……………………………9分
證明:在線段BC上取點P,使
,過P作PQ⊥CD與點Q,
∴PQ⊥平面ACD ∵
在等邊△ADE中,∠DAQ=30°
∴AQ⊥DE∴AP⊥DE. …………………………………………12分
法二:(Ⅱ)以點D為坐標原點,直線DB、DC為x軸、y軸,建立空間直角坐標系,
則A(0,0,2)B(2,0,0)C(0,
,
平面CDF的法向量為
設平面EDF的法向量為
則
即
所以二面角E—DF—C的余弦值為
. …………………………8分
(Ⅲ)在平面坐標系xDy中,直線BC的方程為
設
所以在線段BC上存在點P,使AP⊥DE. …………………12分