Question

已知函數(shù)

(1)若，求曲線在處的切線方程；

(2)求的單調(diào)區(qū)間；

(3）設(shè)，若對任意，均存在，使得，求的取值范圍.

 

Answer 1

(1)(2)詳見解析(3)

【解析】

試題分析：

(1)已知函數(shù)的解析式,把切點的橫坐標(biāo)帶入函數(shù)即可求出切點的縱坐標(biāo),對求導(dǎo)得到函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),把帶入導(dǎo)函數(shù)即可求的切線的斜率,利用點斜式即可得到切線的方程.

(2)對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)和求定義域,導(dǎo)函數(shù)喊參數(shù),把分為兩種情況進(jìn)行討論,首先時,結(jié)合的定義域即可得到導(dǎo)函數(shù)在定義域內(nèi)恒大于0,進(jìn)而得到原函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,當(dāng)時,求解導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0的解集,得到原函數(shù)的單調(diào)遞增和單調(diào)遞減區(qū)間.

(3)該問題為存在性問題與恒成立問題的結(jié)合,即要求,而的最大值可以利用二次函數(shù)的圖像得到函數(shù)在區(qū)間上的最值,函數(shù)的最大值可以利用第二問的單調(diào)性求的,當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞增,無最大值,故不符合題意,當(dāng)時,函數(shù)在處前的最大值,帶入不等式即可求的的取值范圍.

試題解析：

(1)由已知， 1分

，所以斜率， 2分

又切點，所以切線方程為)，即

故曲線在處切線的切線方程為。 3分

(2) 4分

①當(dāng)時，由于，故，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.

5分

②當(dāng)時，由，得. 6分

在區(qū)間上，，在區(qū)間上，，

所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為. 7分

（3）由已知，轉(zhuǎn)化為. 8分

，所以 9分

由(2)知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，值域為，故不符合題意.

(或者舉出反例：存在，故不符合題意.) 10分

當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

故的極大值即為最大值，， 12分

所以，解得. 14分

考點：恒成立問題存在性問題導(dǎo)數(shù)切線