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【題目】已知函數 為自然對數的底數).

(1)若函數的圖象在處的切線方程為,求 的值;

(2)若時,函數內是增函數,求的取值范圍;

(3)當時,設函數的圖象與函數的圖象交于點、,過線段的中點軸的垂線分別交、于點,問是否存在點,使處的切線與處的切線平行?若存在,求出的橫坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】(1) ;(2);(3)不存在.

【解析】試題分析:

(1)利用導函數與切線的關系得到方程,解方程可得 ;

(2)函數為增函數,則內恒成立,處理恒成立問題可得的取值范圍是

(3) 假設在點處的切線與在點處的切線平行,則 ①,討論可得矛盾,假設不成立,

在點處的切線與在點處的切線不平行.

試題解析:(1)當時, ,導數,

,

即函數的圖象在處的切線斜率為,切點為,

函數的圖象在處的切線方程為,

,

, ;

(2)時,函數的解析式是

導數,

函數內是增函數,

內恒成立,

時, .

,故的取值范圍是;

(3)假設在點處的切線與在點處的切線平行,

設點, , ,

則由題意得點、的橫坐標與中點的橫坐標相等,且為,

時, ,

在點處的切線斜率為,

由于兩切線平行,則,

,則兩邊同乘以,得,

,

,則 ①,

,則

, , 上單調遞增,

, ,這與①矛盾,假設不成立,

在點處的切線與在點處的切線不平行.

練習冊系列答案
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