【題目】已知函數, (為自然對數的底數).
(1)若函數的圖象在處的切線方程為,求, 的值;
(2)若時,函數在內是增函數,求的取值范圍;
(3)當時,設函數的圖象與函數的圖象交于點、,過線段的中點作軸的垂線分別交、于點、,問是否存在點,使在處的切線與在處的切線平行?若存在,求出的橫坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1), ;(2);(3)不存在.
【解析】試題分析:
(1)利用導函數與切線的關系得到方程,解方程可得, ;
(2)函數為增函數,則即在內恒成立,處理恒成立問題可得的取值范圍是;
(3) 假設在點處的切線與在點處的切線平行,則, ①,討論可得矛盾,假設不成立,
故在點處的切線與在點處的切線不平行.
試題解析:(1)當時, ,導數,
,
即函數的圖象在處的切線斜率為,切點為,
函數的圖象在處的切線方程為,
, ,
, ;
(2)時,函數在的解析式是,
導數,
函數在內是增函數,
即在內恒成立, ,
時, .
,故的取值范圍是;
(3)假設在點處的切線與在點處的切線平行,
設點, , ,
則由題意得點、的橫坐標與中點的橫坐標相等,且為,
時, , ,
在點處的切線斜率為,
由于兩切線平行,則,
即,則兩邊同乘以,得,
,
, ,
設,則, ①,
令, ,則,
, , 在上單調遞增,
, ,這與①矛盾,假設不成立,
故在點處的切線與在點處的切線不平行.
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【題目】如圖, 為圓的直徑,點在圓上, ,矩形所在的平面與圓所以的平面互相垂直,已知.
(1)求證:平面平面;
(2)當的長為何值時,平面與平面所成的銳二面角的大小為?
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【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形是菱形, 是矩形,平面平面, , , , 為的中點.
(1)求證: 平面;
(2)在線段上是否存在點,使二面角的大小為?若存在,求出的長,若不存在,請說明理由.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數方程
在直角坐標系中,曲線,曲線為參數), 以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系.
(1)求曲線的極坐標方程;
(2)若射線分別交于兩點, 求的最大值.
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【題目】已知函數.
(I)求函數的單調區(qū)間;
(II)若函數的圖像在點處的切線的傾斜角為,問:在什么范圍取值時,對于任意的,函數在區(qū)間上總存在極值?
(III)當時,設函數,若在區(qū)間上至少存在一個,使得成立,試求實數的取值范圍.
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【題目】某少數民族的刺繡有著悠久的歷史,如圖(1),(2),(3),(4)為最簡單的四個圖案,這些圖案都是由小正方形構成,小正方形數越多刺繡越漂亮.現按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同),設第個圖形包含個小正方形.
(1)求出的值;
(2)利用合情推理的“歸納推理思想”,歸納出與之間的關系式,并根據你得到的關系式求出的表達式.
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