Question

國(guó)家助學(xué)貸款是由財(cái)政貼息的信用貸款，旨在幫助高校家庭經(jīng)濟(jì)困難學(xué)生支付在校學(xué)習(xí)期間所需的學(xué)費(fèi)、住宿費(fèi)及生活費(fèi)．每一年度申請(qǐng)總額不超過(guò)6000元．某大學(xué)2010屆畢業(yè)生李順在本科期間共申請(qǐng)了24000元助學(xué)貸款，并承諾在畢業(yè)后3年內(nèi)（按36個(gè)月計(jì)）全部還清．簽約的單位提供的工資標(biāo)準(zhǔn)為第一年內(nèi)每月1500元，第13個(gè)月開(kāi)始，每月工資比前一個(gè)月增加5%直到4000元．李順同學(xué)計(jì)劃前12個(gè)月每個(gè)月還款額為500元，第13個(gè)月開(kāi)始，每月還款額比前一月多x元．
（1）若李順恰好在第36個(gè)月（即畢業(yè)后三年）還清貸款，求x的值；
（2）當(dāng)x=50時(shí)，李順同學(xué)將在第幾個(gè)月還清最后一筆貸款？他還清貸款的那一個(gè)月的工資余額是多少？
（參考數(shù)據(jù)：1.05¹⁸=2.406，1.05¹⁹=2.526，1.05²⁰=2.653，1.05²¹=2.786）

Answer 1

分析：（1）前12個(gè)月還款額是常數(shù)列，后24個(gè)月每月多x元，此36個(gè)數(shù)相加等于24000，得到x的一次方程，求出即可；
（2）設(shè)第n個(gè)月還清，前12個(gè)月每月還款500，后來(lái)（n-12）個(gè)月每月多還50，此n個(gè)數(shù)相加不小于24000，建立不等式解出n的范圍，取最小整數(shù)即可．

解答：解：（1）依題意，從第13個(gè)月開(kāi)始，每月還款額比前一個(gè)月多x元，
故12×500+（500+x）+（500+2x）+…+（500+24x）=24000
即36×500+（1+2+3+…+24）x=24000，解得x=20（元）．（6分）
即要使在三年全部還清，第13個(gè)月起每個(gè)月必須比上一個(gè)月多還20元．（7分）
（2）設(shè)李順第n個(gè)月還清，則應(yīng)有12×500+（500+50）+（500+2×50）+…+[500+（n-12）×50]≥24000
即n²-3n-828≥0，解之得n≥

3+ 3321

2

＞30，取n=31．（10分）
即李順工作31個(gè)月就可以還清貸款．
這個(gè)月李順的還款額為24000-[12×500+（500+50）×（30-12）+

(30-12)(30-12-1)

2

•50]=450元（12分）
第31個(gè)月李順的工資為1500×1.05¹⁹=1500×2.526=3789元．
因此，李順的剩余工資為3789-450=3339．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一元二次不等式的應(yīng)用，數(shù)列的基本應(yīng)用和等差數(shù)列的性質(zhì)，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化和建模能力．