Question

國家助學(xué)貸款是由財(cái)政貼息的信用貸款，旨在幫助高校家庭經(jīng)濟(jì)困難學(xué)生支付在校學(xué)習(xí)期間所需的學(xué)費(fèi)、住宿費(fèi)及生活費(fèi)．每一年度申請總額不超過6000元．某大學(xué)2010屆畢業(yè)生凌霄在本科期間共申請了24000元助學(xué)貸款，并承諾在畢業(yè)后3年內(nèi)（按36個月計(jì)）全部還清．簽約的單位提供的工資標(biāo)準(zhǔn)為第一年內(nèi)每月1500元，第13個月開始，每月工資比前一個月增加5%直到4000元．凌霄同學(xué)計(jì)劃前12個月每個月還款額為500，第13個月開始，每月還款額比上一月多x元．
（Ⅰ）若凌霄恰好在第36個月（即畢業(yè)后三年）還清貸款，求x的值；
（Ⅱ）當(dāng)x=50時，凌霄同學(xué)將在第幾個月還清最后一筆貸款？他當(dāng)月工資的余額是否能滿足每月3000元的基本生活費(fèi)？
（參考數(shù)據(jù)：1.05¹⁸=2.406，1.05¹⁹=2.526，1.05²⁰=2.653，1.05²¹=2.786）

Answer 1

分析：方法一：（I）前12個月每月還款500，后24個月每月多x元，此36個數(shù)相加等于24000，得到x的一次方程，求出即可．
（II）設(shè)第n個月還清，前12個月每月還款500，后來（n-2）個月每月多還50，此n個數(shù)相加不小于24000，建立不等式解出n的范圍．取最小 值．
方法二：（I）前12個月還款額是常數(shù)列，后二十四個月每月還款額構(gòu)成一個等差數(shù)列，用數(shù)列公式求和，使和為24000，建立方程．解出每月應(yīng)多還的數(shù)額．
（II）前12個月還款額是常數(shù)列，后n-12個月每月還款額構(gòu)成一個首項(xiàng)為500，公差為50的等差數(shù)列，用數(shù)列公式求和，使和不小于24000，建立不等式，解出n的范圍，取最小整數(shù)．

解答：解：（Ⅰ）依題意，從第13個月開始，
每月還款額比前一個月多x元，
故12×500+（500+x）+（500+2x）+…+（500+24x）=24000
即36×500+（1+2+3+…+24）x=24000，解得x=20（元）．（6分）
即要使在三年全部還清，第13個月起每個月必須比上一個月多還20元．（7分）
（Ⅱ）設(shè)凌霄第n個月還清，
則應(yīng)有12×500+（500+50）+（500+2×50）+…+[500+（n-12）×50]≥24000
即n²-3n-828≥0，解之得n≥

3+ 3321

2

＞30，取n=31．（10分）
即凌霄工作31個月就可以還清貸款．
這個月凌霄的還款額為
24000-[12×500+(500+50)×(30-12)+

(30-12)×(30-12-1)

2

•50]=450元（12分）
第31個月凌霄的工資為1500×1.05¹⁹=1500×2.526=3789元．
因此，凌霄的剩余工資為3789-450=3339，
能夠滿足當(dāng)月的基本生活需求．（14分）
解法2：（Ⅰ）依題意，從第13個月開始，
每個月的還款額為a_n構(gòu)成等差數(shù)列，其中a₁=500+x，公差為x．（2分）
從而，到第36個月，凌霄共還款12×500+24a1+

24×(24-1)

2

•x（4分）
令12×500+(500+x)×24+

24×(24-1)

2

•x=24000，解之得x=20（元）．（6分）
即要使在三年全部還清，第13個月起每個月必須比上一個月多還20元．（7分）
（Ⅱ）設(shè)凌霄第n個月還清，則應(yīng)有
12×500+(500+50)×(n-12)+

(n-12)×(n-12-1)

2

•50≥24000（8分）
整理可得n²-3n-828≥0，解之得n≥

3+ 3321

2

＞30，取n=31．（10分）
即凌霄工作31個月就可以還清貸款．
這個月凌霄的還款額為
24000-[12×500+(500+50)×(30-12)+

(30-12)×(30-12-1)

2

•50]=450元（12分）
第31個月凌霄的工資為1500×1.05¹⁹=1500×2.526=3789元．
因此，凌霄的剩余工資為3789-450=3339，能夠滿足當(dāng)月的基本生活需求．（14分）

點(diǎn)評：此為一可以轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和的問題，考查問題的轉(zhuǎn)化能力，及等差數(shù)列求和公式的運(yùn)用．