Question

（2013•甘肅三模）如圖，已知橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的左焦點為F，過點F的直線交橢圓于A，B兩點，線段AB的中點為G，AB的中垂線與x軸和y軸分別交于D，E兩點．
（Ⅰ）若點G的橫坐標為-

1

4

，求直線AB的斜率；
（Ⅱ）記△GFD的面積為S₁，△OED（O為原點）的面積為S₂．試問：是否存在直線AB，使得S₁=S₂？說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，直線AB的斜率存在，設其方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，確定G的橫坐標，即可求得直線AB的斜率；
（Ⅱ）假設存在直線AB，使得 S₁=S₂，確定G，D的坐標，利用△GFD∽△OED，即可得到結論．

解答：解：（Ⅰ）依題意，直線AB的斜率存在，設其方程為y=k（x+1）．
將其代入

x2

4

+

y2

3

=1，整理得 （4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），所以x1+x2=

-8k2

4k2+3

．
故點G的橫坐標為

x1+x2

2

=

-4k2

4k2+3

．
依題意，得

-4k2

4k2+3

=-

1

4

，解得k=±

1

2

．
（Ⅱ）假設存在直線AB，使得 S₁=S₂，顯然直線AB不能與x，y軸垂直．
由（Ⅰ）可得 G(

-4k2

4k2+3

，

3k

4k2+3

)．
因為DG⊥AB，所以 

3k 4k2+3

-4k2 4k2+3 -xD

×k=-1，
解得xD=

-k2

4k2+3

，即 D(

-k2

4k2+3

，0)．
因為△GFD∽△OED，所以S₁=S₂，所以|GD|=|OD|．
所以

( -k2 4k2+3 - -4k2 4k2+3 )2+( 3k 4k2+3 )2

=|

-k2

4k2+3

|，
整理得8k²+9=0．
因為此方程無解，所以不存在直線AB，使得 S₁=S₂．

點評：本題考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．