Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BCA=90°，AC=BC=AA₁=2，E，F(xiàn)分別是CC₁，A₁B₁的中點(diǎn)．
（1）求證：AE⊥平面BCF；
（2）求點(diǎn)F到平面ABE的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）建立坐標(biāo)系，利用向量法證明AE⊥平面BCF；
（2）由題意，F(xiàn)到A₁C₁的距離即為所求．

解答： （1）證明：建立以C₁為坐標(biāo)原點(diǎn)的空間坐標(biāo)系如圖，
∵AC=BC=AA₁=2，E，F(xiàn)分別是CC₁，A₁B₁的中點(diǎn)．
∴A（0，2，2），B（2，0，2），E（0，0，1），A₁（0，2，0），F(xiàn)（1，1，0），B₁（2，0，0），C（0，0，2）
則

AE

=（0，-2，-1），

BC

=（-2，0，0），

CF

=（1，1，-2），
則

AE

•

BC

=0，

AE

•

CF

=-2+2=0，
則

AE

⊥

BC

，

AE

⊥

CF

，
即AE⊥BC，AE⊥CF，BC∩CF=C，
∴AE⊥平面BCF；

（2）解：取AB的中點(diǎn)O，連結(jié)CO，F(xiàn)O，
∵CB=CA，
∴CO⊥AB
∴平面ABC⊥平面BB₁A₁A，
∴CO⊥平面ABF，
而CE∥平面BB₁A₁A，
∴E到平面ABF的距離就是CO的長，CO=

1

2

AB=

2

，
∴S_△ABF=

1

2

AB•OF=2

2

，
∴VE-ABF=

1

3

?CO?S△ABF=

4

3

，
又Rt△ECB和Rt△ECA中，易知EB=EA=

5

，
又AB=2

2

，
故EO=

EB2-OB2

=

3

，
∴S_△ABE=

1

2

EO•AB=

6

設(shè)F到平面ABE的距離為d，
由V_F-ABE=V_E-ABF，得

1

3

S_△ABEd=

4

3

，解得d=

2 6

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查空間直線和平面垂直的判斷，考查F到平面ABE的距離，建立坐標(biāo)系利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．