Question

已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)+a

x

，a∈R是常數(shù)．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）求a=-

1

2

時，f（x）零點的個數(shù)；
③求證：(1+

1

22

)(1+

1

24

)•…•(1+

1

22n

)＜e（n∈N^*，e為自然對數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

分析：（1）討論含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性問題，先求出導(dǎo)函數(shù)f′（x），令f′（x）＞0，本小題要對參數(shù)a分a≥0，-1＜a＜0，a≤-1三種情形進行討論，對運算能力要求較高；
（2），由（1）的結(jié)論-1＜a=-

1

2

＜0，所以分三個單調(diào)區(qū)間來利用單調(diào)性來討論函數(shù)的零點的個數(shù)問題．
（3）是近年來高考考查的熱點問題，即與函數(shù)結(jié)合證明不等式問題，常用的解題思路是利用前面的結(jié)論構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，對于函數(shù)取單調(diào)區(qū)間上的正整數(shù)自變量n有某些結(jié)論成立，進而解答出這類不等式問題的解．

解答：解：（1）f′(x)=

1

1+x

+

a

2 x

=

ax+2 x +a

2 x (1+x)

，
若a≥0，則f′（x）＞0，f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；若a≤-1，
則f′（x）＜0，f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞減；若-1＜a＜0，由f′（x）=0
解得，x1=

2-a2-2 1-a2

a2

，x2=

2-a2+2 1-a2

a2

，
直接討論f′（x）知，f（x）在[0，

2-a2-2 1-a2

a2

)
和(

2-a2+2 1-a2

a2

，+∞)單調(diào)遞減，
在[

2-a2-2 1-a2

a2

，

2-a2+2 1-a2

a2

]單調(diào)遞增．
（2）觀察得f（0）=0，a=-

1

2

時，
由①得f（x）在[0，7-4

3

)單調(diào)遞減，
所以f（x）在[0，7-4

3

)上有且只有一個零點；
f(x1)=f(7-4

3

)＜f(0)=0，
計算得f(x2)=f(7+4

3

)=ln(8+4

3

)-

1

2

(2+

3

)＞lne2-2=0，
f（x₁）f（x₂）＜0且f（x）在區(qū)間[7-4

3

，7+4

3

]單調(diào)遞增，
所以f（x）在[7-4

3

，7+4

3

]上有且只有一個零點；
根據(jù)對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)單調(diào)性比較知，
存在充分大的M∈R，使f（M）＜0，f（x₂）f（M）＜0
且f（x）在區(qū)(7+4

3

，+∞)單調(diào)遞減，
所以f（x）在(7+4

3

，7M)上
從而在(7+4

3

，+∞)上有且只有一個零點．
綜上所述，a=-

1

2

時，f（x）有3個零點．
（3）取a=-1，f(x)=ln(1+x)-

x

，
由①得f（x）單調(diào)遞減，
所以?x＞0，f（x）＜f（0）=0，ln(1+x)＜

x

，
從而ln（1+

1

22

）（1+

1

24

）…（1+

1

22n

）
=ln（1+

1

22

）ln（1+

1

24

）+…（1+

1

22n

）
＜

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

=1-

1

2n

＜1，
由lnx單調(diào)遞增得(1+

1

22

)(1+

1

24

)••(1+

1

22n

)＜e．

點評：單調(diào)性刻畫函數(shù)兩個變量變化趨勢的一致性，是認(rèn)識函數(shù)的重要角度，運用單調(diào)性可以確定函數(shù)零點的個數(shù)，考查導(dǎo)數(shù)使單調(diào)性可以定量、精確研究這一重要工具．參數(shù)是可變的常數(shù)，處理參數(shù)是比較高端的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，本題考查了這一素養(yǎng)，因此對學(xué)生的綜合應(yīng)用能力要求較高．