Question

【題目】已知圓的圓心為原點(diǎn)，且與直線(xiàn)相切.

（1）求圓的方程；

（2）點(diǎn)在直線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)引圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)為，求證：直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：（1）由圓C與直線(xiàn)相切，得到圓心到直線(xiàn)的距離d=r，故利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出d的值，即為圓C的半徑，又圓心為原點(diǎn)，寫(xiě)出圓C的方程即可；（2）由PA，PB為圓O的兩條切線(xiàn)，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得到OA與AP垂直，OB與PB垂直，根據(jù)90°圓周角所對(duì)的弦為直徑可得A，B在以O(shè)P為直徑的圓上，設(shè)出P的坐標(biāo)為（8，b），由P和O的坐標(biāo)，利用線(xiàn)段中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出OP中點(diǎn)坐標(biāo)，即為以O(shè)P為直徑的圓的圓心坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出OP的長(zhǎng)，即為半徑，寫(xiě)出以O(shè)P為直徑的圓方程，整理后，由AB為兩圓的公共弦，兩圓方程相減消去平方項(xiàng)，得到弦AB所在直線(xiàn)的方程，可得出此直線(xiàn)方程過(guò)（2，0），得證

試題解析：（1）依題意得：圓的半徑，……………2分

所以圓的方程為。……………4分

（2）是圓的兩條切線(xiàn)，。

在以為直徑的圓上。……………6分

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為。

以為直徑的圓方程為……………8分

化簡(jiǎn)得：

為兩圓的公共弦，

直線(xiàn)的方程為……………10分

所以直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)。……………12分