(12分)(2011•重慶)如圖,橢圓的中心為原點(diǎn)0,離心率e=,一條準(zhǔn)線的方程是x=2

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足:=+2,其中M、N是橢圓上的點(diǎn),直線OM與ON的斜率之積為﹣,
問:是否存在定點(diǎn)F,使得|PF|與點(diǎn)P到直線l:x=2的距離之比為定值;若存在,求F的坐標(biāo),若不存在,說明理由.
(Ⅰ)+=1(Ⅱ)見解析

試題分析:(Ⅰ) 由題意得 =,==2,解出a、b 的值,即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(Ⅱ)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x,y),M(x1,y1)、N(x2,y2). 由向量間的關(guān)系得到 x=x1+2x2,y=y1+2y2,據(jù)
M、N是橢圓上的點(diǎn)可得 x2+2y2=20+4(x1x2+2y1y2).再根據(jù)直線OM與ON的斜率之積為﹣,得到點(diǎn)P是橢圓
x2+2y2="20" 上的點(diǎn),根據(jù)橢圓的第二定義,存在點(diǎn)F(,0),滿足條件.
解:(Ⅰ) 由題意得 =,==2,∴a=2,b=,
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 +=1.
(Ⅱ)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x,y),M(x1,y1)、N(x2,y2).∵動(dòng)點(diǎn)P滿足:=+2
∴(x,y)=(x1+2x2,y1+2y2 ),∴x=x1+2x2,y=y1+2y2
∵M(jìn)、N是橢圓上的點(diǎn),∴x12+2y12﹣4=0,x22+2y22﹣4=0.
∴x2+2y2=(x1+2x22+2 (y1+2y22=(x12+2y12)+4(x22+2y22)+4(x1x2+2y1y2
=4+4×4+4(x1x2+2y1y2)=20+4(x1x2+2y1y2).
∵直線OM與ON的斜率之積為﹣,∴=﹣,∴x2+2y2=20,
故點(diǎn)P是橢圓 ="1" 上的點(diǎn),焦點(diǎn)F(,0),準(zhǔn)線l:x=2,離心率為
根據(jù)橢圓的第二定義,|PF|與點(diǎn)P到直線l:x=2的距離之比為定值,
故存在點(diǎn)F(,0),滿足|PF|與點(diǎn)P到直線l:x=2的距離之比為定值.
點(diǎn)評(píng):本題考查用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算,以及橢圓的第二定義,屬于中檔題.
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