Question

13．方程$\sqrt{-{x^2}-2x}$=kx+4有兩個不相等的實根，則k的取值范圍是（　　）

• A． $（\frac{15}{8}，2]$
• B． [2，+∞）
• C． $（-∞，\frac{15}{8}]$
• D． $（\frac{15}{8}，+∞）$

Answer 1

分析 方程有兩個不等的實根可以轉化為函數(shù)$y=\sqrt{-{x}^{2}-2x}$和函數(shù)y=kx+4的圖象由兩個不同的交點，在求出臨界位置的直線的斜率即可．

解答 解：
方程有兩個不等的實根等價于函數(shù)$y=\sqrt{-{x}^{2}-2x}$和函數(shù)y=kx+4的圖象由兩個不同的交點，
函數(shù)$y=\sqrt{-{x}^{2}-2x}$的解析式可變形為x²+y²+2x=0，即（x+1）²+y²=1（y≥0），其圖象為圓點在（-1，0），半徑為1的圓在x軸上方的部分，如圖

由圖可知，當直線PN繞點P順時針旋轉至直線PM（PM為切線）位置時，直線與半圓有兩個交點，
又${k}_{PN}=\frac{4-0}{0-（-2）}=2$，當直線與半圓相切時有：$\frac{|4-k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=1$，解得：k_PM=$\frac{15}{8}$，
∴k的取值范圍是$（\frac{15}{8}，2]$．
故選：A．

點評 本題考查用數(shù)形結合的方法判斷方程解的個數(shù)問題．解題關鍵是能正確把方程得解的個數(shù)問題轉化為函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題．此題若用代數(shù)方法求解要復雜得多．屬于中檔題．