Question

已知關于x的方程|x²-2x-3|-a=0，該方程實數(shù)解的個數(shù)有如下判斷：
①若該方程沒有實數(shù)根，則a＜-4
②若a=0，則該方程恰有兩個實數(shù)解
③該方程不可能有三個不同的實數(shù)根
④若該方程恰有三個不同的實數(shù)解，則a=4
⑤若該方程恰有四個不同的實數(shù)解，則0＜a＜4
其中正確判斷的序號是

②④⑤

．

Answer 1

分析：將方程|x²-2x-3|-a=0的實數(shù)解的個數(shù)問題轉化為函數(shù)圖象的交點問題，作圖分析即得答案．

解答：解：關于x的方程|x²-2x-3|-a=0，即|x²-2x-3|=a，
分別畫出y=|x²-2x-3|與y=a的圖象，如圖．
①若該方程沒有實數(shù)根，則a＜0；故①錯；
②若a=0，則該方程恰有兩個實數(shù)解；②對；
③若a=4時，該方程有三個不同的實數(shù)根，故③錯；
④若該方程恰有三個不同的實數(shù)解，則a=4，④對；
⑤若該方程恰有四個不同的實數(shù)解，則0＜a＜4，正確．
其中正確判斷的序號是 ②④⑤．
故答案為：②④⑤．

點評：本題考查了根的存在性及根的個數(shù)判斷．華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微．數(shù)形結合百般好，隔離分家萬事非．”數(shù)形結合是數(shù)學解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學問題的本質．