Question

已知函數(shù)的最小值為0，其中。

（1）求a的值

（2）若對(duì)任意的，有成立，求實(shí)數(shù)k的最小值

（3）證明

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（3）利用放縮法來證明

【解析】

試題分析：（1）的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013050809004849056863/SYS201305080901112873443300_DA.files/image004.png">

，由，得，

當(dāng)x變化時(shí)，的變化情況如下表：

x
	－	0	＋
	↘	極小值	↗

因此，在處取得最小值，故由題意，所以。

（Ⅱ）解：當(dāng)時(shí)，取，有，故不合題意。

當(dāng)時(shí)，令，即。

，令，得

－1。

（1）  當(dāng)時(shí)，在上恒成立，因此在上單

調(diào)

（2）  遞減，從而對(duì)于任意的，總有，即在

上恒成立。故符合題意。

（2）當(dāng)時(shí)，，對(duì)于，，故在內(nèi)單調(diào)遞增，因此當(dāng)取時(shí)，，即不成立。

故不合題意，

綜上，k的最小值為。

（Ⅲ）證明：當(dāng)n＝1時(shí)，不等式左邊＝右邊，所以不等式成立。

當(dāng)時(shí)，

。

在（Ⅱ）中取，得，從而

，

所以有

。

綜上，。

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查恒成立問題，第二問構(gòu)造新函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為g（x）的最大值小于等于0，

即可，這種轉(zhuǎn)化的思想在高考中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)，我們要認(rèn)真體會(huì).