Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，BC=2，AC=

5

，AA₁=3，M為線段BB₁上的一動點，則當AM+MC₁最小時，△AMC₁的面積為

 

．

Answer 1

考點：多面體和旋轉體表面上的最短距離問題

專題：空間位置關系與距離

分析：先將直三棱柱ABC-A₁B₁C₁沿棱BB₁展開成平面連接AC₁，與BB₁的交點即為滿足AM+MC₁最小時的點M，
由此可以求得△AMC₁的三邊長，再由余弦定理求出其中一角，由面積公式求出面積

解答： 解：將直三棱柱ABC-A₁B₁C₁沿棱BB₁展開成平面連接AC₁，與BB₁的交點即為滿足AM+MC₁最小時的點M，
由于AB=1，BC=2，AA₁=3，再結合棱柱的性質，可得BM=

1

3

AA₁=1，故B₁M=2
由圖形及棱柱的性質，可得AM=

2

，AC₁=

14

，MC₁=2

2

，cos∠AMC₁=

2+8-14

2× 2 ×2 2

=-

1

2

．
故sin∠AMC₁=

3

2

，△AMC₁的面積為

1

2

×

2

×2

2

×

3

2

=

3

，
故答案為：

3

點評：本題考查棱柱的特征，求解本題的關鍵是根據棱柱的結構特征及其棱長等求出三角形的邊長，再由面積公式求面積，本題代數與幾何相結合，綜合性強，解題時要注意運算準確，正確認識圖形中的位置關系．