Question

（本題滿分14分）已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)也是拋物線的焦點(diǎn)。     
（1）求橢圓方程；
（2）若直線與相交于、兩點(diǎn)。
①若,求直線的方程；
②若動(dòng)點(diǎn)滿足，問(wèn)動(dòng)點(diǎn)的軌跡能否與橢圓存在公共點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。

Answer 1

   

（1）根據(jù)，即，據(jù)得，故，
所以所求的橢圓方程是。（3分）
（2）①當(dāng)直線的斜率為時(shí)，檢驗(yàn)知。設(shè)，
根據(jù)得得。
設(shè)直線，代入橢圓方程得，
故，得，
代入得，即，
解得，故直線的方程是。 （8分）
②問(wèn)題等價(jià)于是不是在橢圓上存在點(diǎn)使得成立。
當(dāng)直線是斜率為時(shí)，可以驗(yàn)證不存在這樣的點(diǎn)，
故設(shè)直線方程為。（9分）
用①的設(shè)法，點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
若點(diǎn)在橢圓上，則，
即，
又點(diǎn)在橢圓上，故，
上式即，即，
由①知

，
代入得，
解得，即。（12分）
當(dāng)時(shí)，，
；
當(dāng)時(shí)，，
。
故上存在點(diǎn)使成立，
即動(dòng)點(diǎn)的軌跡與橢圓存在公共點(diǎn)，
公共點(diǎn)的坐標(biāo)是。（14分）