Question

已知一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)都是1或2．首項(xiàng)為1，且在第個(gè)1和第個(gè)1之間有個(gè)2，即1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…．記數(shù)列的前項(xiàng)的和為．
參考：31×32=992，32×33＝1056，44×45=1980，45×46=2070，2011×2012＝4046132
（１）試問第2012個(gè)1為該數(shù)列的第幾項(xiàng)？
（２）求和；
（３）（特保班做）是否存在正整數(shù)，使得？如果存在,求出的值；如果不存在,請說明理由．

Answer 1

（１）4046133（２），（３）存在，=993+29=1022

本小題關(guān)鍵是讀懂題意歸納出規(guī)律：將第k個(gè)1與第k+1個(gè)1前的2記為第k對，即　(1,2)為第1對，共1+1=2項(xiàng)；(1,2,2,2)為第2對，共1+3=4項(xiàng)；….
從而可歸納出為第k對，共項(xiàng), 故前k對共有項(xiàng)數(shù)為.
（1）（2）在此基礎(chǔ)上容易解決.
（3）解本小題的關(guān)鍵是確定前k對所在全部項(xiàng)的和為,問題到此基本得以解決.
解：將第個(gè)1與第個(gè)1前的2記為第對，
即　為第1對，共項(xiàng)；
為第2對，共項(xiàng)；……；
為第k對，共項(xiàng)；
故前k對共有項(xiàng)數(shù)為．
（１）第2012個(gè)1所在的項(xiàng)之前共有2011對，所以2012個(gè)1為該數(shù)列的
2011×(2011+1)+1=4046133（項(xiàng)）
（２）因44×45=1980，45×46=2070，，
故第2012項(xiàng)在第45對中的第32個(gè)數(shù)，從而
　　　又前2012項(xiàng)中共有45個(gè)1，其余2012－45＝1967個(gè)數(shù)均為2，
于是
（３）前k對所在全部項(xiàng)的和為，易得，
，，
即且自第994項(xiàng)到第1056項(xiàng)均為2，而2012-1954=58能被2整除，
故存在=993+29=1022，使．