Question

【題目】設(shè)正項數(shù)列{an}的前n項和Sn ， 且滿足2Sn=an2+an ．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）若數(shù)列bn= + ，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn ， 求證：Tn＜2n+ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得 ，兩式相減得， ，

∴ ，即（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）=0，

又∵數(shù)列{an}為正項數(shù)列，∴an﹣an﹣1=1．因此數(shù)列{an}為等差數(shù)列．

又n=1時， ，∴a1=1，an=1+n﹣1=n

（2）解：證明：由（1）知 ，又 ，

∴

∴

【解析】（1）利用遞推關(guān)系可得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）=0，又?jǐn)?shù)列{an}為正項數(shù)列，可得an﹣an﹣1=1．再利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．（2）由（1）知： ，再利用“裂項求和”即可得出．
【考點精析】通過靈活運(yùn)用數(shù)列的前n項和和數(shù)列的通項公式，掌握數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式即可以解答此題．