【題目】已知在四棱錐S﹣ABCD中,底面ABCD是菱形,且∠BCD=60°,側(cè)面SAB是正三角形,且面SAB⊥面ABCD,F(xiàn)為SD的中點(diǎn).

(1)證明:SB∥面ACF;
(2)求面SBC與面SAD所成銳二面角的余弦值.

【答案】
(1)證明:連接BD交AC于O,連接OF,

因?yàn)锳BCD為菱形,所以O(shè)B=OD,

又F為SD的中點(diǎn),所以FO∥SB,

因?yàn)镕O平面ACF,SB面ACF,

所以SB∥面ACF.


(2)證明:取AB中點(diǎn)M,連接MD,分別以MB、MD、MS為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)AB=a,則B( ,0,0),C(a, ,0),A(﹣ ,0,0),D(0, ,0),S(0,0, ),

=( , ,0), =(﹣ ), =( ), =( ),

設(shè)面SBC的法向量 ,則 ,

令x′=1,則

設(shè)面SAD的法向量為 ,則

令x=1,則

則cos< >= = ,

所以銳二面角的余弦值為


【解析】(1)連接BD交AC于O,連接OF,推導(dǎo)出FO∥SB,由此能證明SB∥面ACF.(2)取AB中點(diǎn)M,連接MD,分別以MB、MD、MS為x,y,z軸,建立空間直角坐系.利用向量法能求出銳二面角的余弦值.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關(guān)知識(shí),掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡(jiǎn)記為:線線平行,則線面平行.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某產(chǎn)品關(guān)稅與市場(chǎng)供應(yīng)量P的關(guān)系近似地滿足:P(x)=2 (其中t為關(guān)稅的稅率,且t∈[0, ],x為市場(chǎng)價(jià)格,b,k為正常數(shù)),當(dāng)t= 時(shí),市場(chǎng)供應(yīng)量曲線如圖所示:

(1)根據(jù)函數(shù)圖象求k,b的值;
(2)若市場(chǎng)需求量Q,它近似滿足Q(x)=2 .當(dāng)P=Q時(shí)的市場(chǎng)價(jià)格為均衡價(jià)格,為使均衡價(jià)格控制在不低于9元的范圍內(nèi),求稅率t的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知下列四個(gè)命題:
p1:若直線l和平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直,則l⊥α;
p2:若f(x)=2x﹣2x , 則x∈R,f(﹣x)=﹣f(x);
p3:若 ,則x0∈(0,+∞),f(x0)=1;
p4:在△ABC中,若A>B,則sinA>sinB.
其中真命題的個(gè)數(shù)是(
A.1
B.2
C.3
D.4

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在△ABC中,角A、B、C的對(duì)邊a、b、c成等差數(shù)列,且A﹣C=90°,則cosB=(
A.
B.
C.
D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知橢圓 )經(jīng)過(guò)點(diǎn),且兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形.

(1)求橢圓的方程;

(2)動(dòng)直線 )交橢圓、兩點(diǎn),試問(wèn):在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn),使得以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn).若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】 某廠生產(chǎn)不同規(guī)格的一種產(chǎn)品,根據(jù)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn),其合格產(chǎn)品的質(zhì)量與尺寸之間近似滿足關(guān)系式為大于的常數(shù)),現(xiàn)隨機(jī)抽取件合格產(chǎn)品,測(cè)得數(shù)據(jù)如下:

尺寸

質(zhì)量

對(duì)數(shù)據(jù)作了初步處理,相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值如下表:

(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù),求關(guān)于的回歸方程;

(2)按照某項(xiàng)指標(biāo)測(cè)定,當(dāng)產(chǎn)品質(zhì)量與尺寸的比在區(qū)間內(nèi)時(shí)為優(yōu)等品,現(xiàn)從抽取的件合格產(chǎn)品中再任選件,記為取到優(yōu)等品的件數(shù),試求隨機(jī)變量的分布列和期望.

附:對(duì)于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知橢圓的焦距為,且過(guò)點(diǎn).

(1)求橢圓的方程;

(2)若不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn),且直線與直線的斜率之和為,證明:直線的斜率為定值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某池塘中原有一塊浮草,浮草蔓延后的面積y(m2)與時(shí)間t(月)之間的函數(shù)關(guān)系是y=at1(a>0,且a≠1),它的圖象如圖所示.給出以下命題: ①池塘中原有浮草的面積是0.5m2;
②到第7個(gè)月浮草的面積一定能超過(guò)60m2
③浮草每月增加的面積都相等;
④若浮草面積達(dá)到4m2 , 16m2 , 64m2所經(jīng)過(guò)時(shí)間分別為t1 , t2 , t3 , 則t1+t2<t3 , 其中所有正確命題的序號(hào)是(


A.①②
B.①④
C.②③
D.②④

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(1)若,求曲線在點(diǎn)處的切線方程;

(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案