【題目】如圖,在四棱錐中,底面為等腰梯形,,其中點在以為直徑的圓上,,,,平面平面.
(1)證明:平面.
(2)設(shè)點是線段(不含端點)上一動點,當(dāng)三棱錐的體積為1時,求異面直線與所成角的余弦值.
【答案】(1)詳見解析;(2).
【解析】
(1)利用余弦定理,由勾股定理可得,再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面;(2)設(shè),則,由,解得,即點是線段的中點. 取的中點為,連接,可證明四邊形為平行四邊形,從而,且,可得為異面直線與所成角(或補角),再利用余弦定理可得結(jié)果.
(1)連接,,因為點在以為直徑的圓上,所以.
因為,所以,.
所以.
因為為等腰梯形,,
所以.
又因為,,
所以,從而得.
又因為平面平面,平面平面,
所以平面.
(2)由(1)得,
設(shè),則,
所以,解得,
即點是線段的中點.
取的中點為,連接,則由(1)及條件得,且,
所以四邊形為平行四邊形,從而,且,
所以為異面直線與所成角(或補角).
因為,所以.
因為,所以,
所以,
所以,
即異面直線與所成角的余弦值為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,O坐標(biāo)原點,從直線yx+1上的一點作x軸的垂線,垂足記為Q1,過Q1作OP1的平行線,交直線yx+1于點,再從P2作x軸的垂線,垂足記為Q2,依次重復(fù)上述過程得到一系列點:P1,Q1,P2,Q2,…,Pn,Qn,記Pk點的坐標(biāo)為,k=1,2,3,…,n,現(xiàn)已知x1=2.
(1)求Q2、Q3的坐標(biāo);
(2)試求xk(1≤k≤n)的通項公式;
(3)點Pn、Pn+1之間的距離記為|PnPn+1|(n∈N*),是否存在最小的正實數(shù)t,使得t對一切的自然數(shù)n恒成立?若存在,求t的值,若不存在,請說明理由
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】用0與1兩個數(shù)字隨機填入如圖所示的5個格子里,每個格子填一個數(shù)字,并且從左到右數(shù),不管數(shù)到哪個格子,總是1的個數(shù)不少于0的個數(shù),則這樣填法的概率為__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)直線l:y=2x﹣1與雙曲線(,)相交于A、B兩個不
同的點,且(O為原點).
(1)判斷是否為定值,并說明理由;
(2)當(dāng)雙曲線離心率時,求雙曲線實軸長的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓,直線,若直線上存在點,過點引圓的兩條切線,使得,則實數(shù)的取值范圍是( )
A. B. [,]
C. D. )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分10分)選修4—4,坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線,直線:(為參數(shù)).
(I)寫出曲線的參數(shù)方程,直線的普通方程;
(II)過曲線上任意一點作與夾角為的直線,交于點,的最大值與最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正△ABC的邊長為4,CD是AB邊上的高,E,F分別是AC和BC邊的中點,現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B.
(1)試判斷直線AB與平面DEF的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)求棱錐E-DFC的體積;
(3)在線段BC上是否存在一點P,使AP⊥DE?如果存在,求出的值;如果不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額(單位:億元)的折線圖.
為了預(yù)測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額,建立了與時間變量的兩個線性回歸模型.根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量的值依次為1,2,…,17)建立模型
①;
根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量的值依次為1,2,…,7)建立模型
②.
利用這兩個模型,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值分別為_____,_____;并且可以判斷利用模型_____得到的預(yù)測值更可靠.
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