【題目】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖與側(cè)視圖是腰長(zhǎng)為6的等腰直角三角形，俯視圖是正方形．

(1)請(qǐng)畫出該幾何體的直觀圖，并求出它的體積；

(2)用多少個(gè)這樣的幾何體可以拼成一個(gè)棱長(zhǎng)為6的正方體ABCD—A1B1C1D1?如何組拼？試證明你的結(jié)論；

(3)在(2)的情形下，設(shè)正方體ABCD—A1B1C1D1的棱CC1的中點(diǎn)為E, 求平面AB1E與平面ABC所成二面角的余弦值．

【答案】（1）72；（2）見解析；（3）

【解析】試題分析：（1）先確定是一個(gè)四棱錐，再確定高與底面形狀，最后代入錐體體積公式計(jì)算（2）由體積關(guān)系確定錐體個(gè)數(shù)，再進(jìn)行配湊（3）根據(jù)投影可得二面角的余弦值為對(duì)應(yīng)兩個(gè)三角形面積之比

試題解析：(1)該幾何體的直觀圖如圖1所示，它是有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐. 其中底面ABCD是邊長(zhǎng)為6的正方形，高PD＝6，故所求體積是V＝×62×6＝72.

(2)依題意，正方體的體積是原四棱錐體積的3倍，故用3個(gè)這樣的四棱錐可以拼成一個(gè)棱長(zhǎng)為6的正方體，即由四棱錐D1－ABCD，D1－BB1C1C，D1－BB1A1A組成．其拼法如圖2所示.

(3)因?yàn)椤?/span>AB1E的邊長(zhǎng)AB1＝6，B1E＝3，AE＝9，所以S△AB1E＝27，而S△ABC＝18，所以平面AB1E與平面ABC所成二面角的余弦值為＝.

點(diǎn)睛:空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略

(1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺(tái)體，則可直接利用公式進(jìn)行求解．

(2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解．

(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓 的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，焦距為

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過動(dòng)點(diǎn)的直線交軸與點(diǎn)，交于點(diǎn) (在第一象限)，且是線段的中點(diǎn).過點(diǎn)作軸的垂線交于另一點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn).

（ⅰ）設(shè)直線的斜率分別為，證明為定值；

（ⅱ）求直線的斜率的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對(duì)于定義域?yàn)?/span>的函數(shù)，若滿足①；②當(dāng)，且時(shí)，都有；③當(dāng)，且時(shí)， ，則稱為“偏對(duì)稱函數(shù)”．現(xiàn)給出四個(gè)函數(shù)：

①； ② ；

③ ； ④．

則其中是“偏對(duì)稱函數(shù)”的函數(shù)為__________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)f(x)＝ex－ax－1.

(1)當(dāng)a>0時(shí)，設(shè)函數(shù)f(x)的最小值為g(a)，求證：g(a)≤0；

(2)求證：對(duì)任意的正整數(shù)n，都有1n＋1＋2n＋1＋3n＋1＋…＋nn＋1<(n＋1)n＋1.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓： 的左，右焦點(diǎn)分別為，且與短軸的一個(gè)端點(diǎn)Q構(gòu)成一個(gè)等腰直角三角形，點(diǎn)P（）在橢圓上，過點(diǎn)作互相垂直且與x軸不重合的兩直線AB，CD分別交橢圓于A，B，C，D且M，N分別是弦AB，CD的中點(diǎn)

(1)求橢圓的方程

(2)求證：直線MN過定點(diǎn)R（）

(3)求面積的最大值

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】近年來許多地市空氣污染較為嚴(yán)重，現(xiàn)隨機(jī)抽取某市一年（365天）內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)（）的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表：

指數(shù)

空氣質(zhì)量

優(yōu)

良

輕度污染

中度污染

重度污染

嚴(yán)重污染

天數(shù)

4

13

18

30

20

15

記某企業(yè)每天由空氣污染造成的經(jīng)濟(jì)損失為（單位：元），指數(shù)為.當(dāng)在區(qū)間內(nèi)時(shí)，對(duì)企業(yè)沒有造成經(jīng)濟(jì)損失；當(dāng)在區(qū)間內(nèi)時(shí)，對(duì)企業(yè)造成的經(jīng)濟(jì)損失與成直線模型（當(dāng)指數(shù)為150時(shí)，造成的經(jīng)濟(jì)損失為1100元，當(dāng)指數(shù)為200時(shí)，造成的經(jīng)濟(jì)損失為1400元）；當(dāng)指數(shù)大于300時(shí)，造成的經(jīng)濟(jì)損失為2000元.　

（1）試寫出的表達(dá)式；

（2）試估計(jì)在本年內(nèi)隨機(jī)抽取1天，該天經(jīng)濟(jì)損失大于1100且不超過1700元的概率；

（3）若本次抽取的樣本數(shù)據(jù)有30天是在供暖季，這30天中有8天為嚴(yán)重污染，完成列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為該市本年度空氣嚴(yán)重污染與供暖有關(guān)？

非嚴(yán)重污染

嚴(yán)重污染

合計(jì)

供暖季

非供暖季

合計(jì)

附：

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

，其中

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（），.

（1）若，曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直，求的值；

（2）若，試探究函數(shù)與的圖象在其公共點(diǎn)處是否存在公切線.若存在，研究值的個(gè)數(shù)；，若不存在，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對(duì)于給定的正整數(shù)，如果各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足：對(duì)任意正整數(shù)，

總成立，那么稱是“數(shù)列”．

（1）若是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，判斷是否為“數(shù)列”，并說明理由；

（2）若既是“數(shù)列”，又是“數(shù)列”，求證： 是等比數(shù)列．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)， ，則對(duì)任意，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)至多有（ ）

A. 3個(gè) B. 4個(gè) C. 6個(gè) D. 9個(gè)

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