已知雙曲線的中心為原點(diǎn),左、右焦點(diǎn)分別為,離心率為,點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn),點(diǎn)在雙曲線上,且滿足.
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)證明:直線與直線的斜率之積是定值;
(3)若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,過(guò)點(diǎn)作動(dòng)直線與雙曲線右支交于不同的兩點(diǎn)、,在線段上去異于點(diǎn)的點(diǎn),滿足,證明點(diǎn)恒在一條定直線上.
(1);(2)詳見(jiàn)解析;(3)詳見(jiàn)解析.

試題分析:(1)根據(jù)雙曲線的離心率列方程求出實(shí)數(shù)的值;(2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,利用條件確定、之間的關(guān)系,再結(jié)合點(diǎn)在雙曲線上這一條件,以及斜率公式來(lái)證明直線與直線的斜率之積是定值;(3)證法一是先設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、,結(jié)合(2)得到,,引入?yún)?shù),利用轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的條件,利用坐標(biāo)運(yùn)算得到點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式,進(jìn)而證明點(diǎn)恒在定直線上;證法二是設(shè)直線的方程為,將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立,結(jié)合韋達(dá)定理,將條件進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化為,結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn)為,最后利用點(diǎn)在直線上得到,從而消去得到
,進(jìn)而證明點(diǎn)恒在定直線上.
試題解析:(1)根據(jù)雙曲線的定義可得雙曲線的離心率為,由于,解得,
故雙曲線的方程為;
(2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,易知點(diǎn),
,,
,因此點(diǎn)的坐標(biāo)為,
故直線的斜率,直線的斜率為
因此直線與直線的斜率之積為,
由于點(diǎn)在雙曲線上,所以,所以,
于是有
(定值);
(3)證法一:設(shè)點(diǎn) 且過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn),由(2)知,,
設(shè),則,即,
整理得
由①③,②④得,,
,代入⑥得,⑦,
將⑦代入⑤得,即點(diǎn)恒在定直線上;
證法二:依題意,直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為,
,
消去,
因?yàn)橹本與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)、,
則有,
設(shè)點(diǎn),由,得
整理得,
將②③代入上式得,
整理得,④
因?yàn)辄c(diǎn)在直線上,所以,⑤
聯(lián)立④⑤消去,所以點(diǎn)恒在定直線.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

設(shè),若直線與線段AB沒(méi)有公共點(diǎn),則的取值范圍是(  )
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知線段PQ兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-1,1)、(2,2),若直線l:x+my+m=0與線段PQ有交點(diǎn),求m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

如果三條直線l1,l2,l3的傾斜角分別為α1,α2,α3,其中l(wèi)1:x-y=0,l2:x+2y=0,l3:x+3y=0,則α1,α2,α3從小到大的排列順序?yàn)開(kāi)___________.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

已知直線l的傾斜角為π,直線l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,2)和B(a,-1),且直線l1與直線l垂直,直線l2的方程為2x+by+1=0,且直線l2與直線l1平行,則a+b等于    .

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

直線x+(a2+1)y+1=0的傾斜角的取值范圍是(  ).
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

已知兩點(diǎn),,點(diǎn)軸或軸上,若,則這樣的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為
A. B.  C.   D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

直線的傾斜角是(       )
A.300B.600 C.1200D.1350

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

直線的傾斜角的大小為         。

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案