Question

【題目】已知橢圓M：： + =1（a＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)為F（﹣1，0），左右頂點(diǎn)分別為A，B．經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線l與橢圓M交于C，D兩點(diǎn)．
（1）求橢圓方程；
（2）當(dāng)直線l的傾斜角為45°時(shí)，求線段CD的長(zhǎng)；
（3）記△ABD與△ABC的面積分別為S1和S2 ， 求|S1﹣S2|的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)镕（﹣1，0）為橢圓的焦點(diǎn)，所以c=1，又b2=3，

所以a2=4，所以橢圓方程為 =1；

（2）解：因?yàn)橹本�的傾斜角為45°，所以直線的斜率為1，

所以直線方程為y=x+1，和橢圓方程聯(lián)立得到

，消掉y，得到7x2+8x﹣8=0，

所以△=288，x1+x2= ，x1x2=﹣ ，

所以|CD|= |x1﹣x2|= × = ；

（3）解：當(dāng)直線l無(wú)斜率時(shí)，直線方程為x=﹣1，

此時(shí)D（﹣1， ），C（﹣1，﹣ ），△ABD，△ABC面積相等，|S1﹣S2|=0，

當(dāng)直線l斜率存在（顯然k≠0）時(shí)，設(shè)直線方程為y=k（x+1）（k≠0），

設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），

和橢圓方程聯(lián)立得到 ，消掉y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，

顯然△＞0，方程有根，且x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

此時(shí)|S1﹣S2|=2||y1|﹣|y2||=2|y1+y2|=2|k（x2+1）+k（x1+1）|

=2|k（x2+x1）+2k|= = ≤ = = ，（k= 時(shí)等號(hào)成立）

所以|S1﹣S2|的最大值為 ．

【解析】（1）由焦點(diǎn)F坐標(biāo)可求c值，根據(jù)a，b，c的平方關(guān)系可求得a值；（2）寫出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立消掉y得關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式即可求得|CD|；（3）當(dāng)直線l不存在斜率時(shí)可得，|S1﹣S2|=0；當(dāng)直線l斜率存在（顯然k≠0）時(shí)，設(shè)直線方程為y=k（x+1）（k≠0），與橢圓方程聯(lián)立消y可得x的方程，根據(jù)韋達(dá)定理可用k表示x1+x2 ， x1x2 ， |S1﹣S2|可轉(zhuǎn)化為關(guān)于x1 ， x2的式子，進(jìn)而變?yōu)殛P(guān)于k的表達(dá)式，再用基本不等式即可求得其最大值；
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí)，掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：．