【題目】已知函數(shù)f(x)=mln(x+1),g(x)= (x>﹣1). (Ⅰ)討論函數(shù)F(x)=f(x)﹣g(x)在(﹣1,+∞)上的單調(diào)性;
(Ⅱ)若y=f(x)與y=g(x)的圖象有且僅有一條公切線(xiàn),試求實(shí)數(shù)m的值.
【答案】解:(Ⅰ)F′(x)=f′(x)﹣g′(x) = ﹣ = (x>﹣1),
當(dāng)m≤0時(shí),F(xiàn)′(x)<0,函數(shù)F(x)在(﹣1,+∞)上單調(diào)遞減;
當(dāng)m>0時(shí),令F′(x)<0,可得x<﹣1+ ,函數(shù)F(x)在(﹣1,﹣1+ )上單調(diào)遞減;
F′(x)>0,可得>﹣1+ ,函數(shù)F(x)在(﹣1+ ,+∞)上單調(diào)遞增.
綜上所述,當(dāng)m≤0時(shí),F(xiàn)(x)的減區(qū)間是(﹣1,+∞);
當(dāng)m>0時(shí),F(xiàn)(x)的減區(qū)間是(﹣1,﹣1+ ),
增區(qū)間是(﹣1+ ,+∞)
(Ⅱ)函數(shù)f(x)=mln(x+1)在點(diǎn)(a,mln(a+1))處的切線(xiàn)方程為y﹣mln(a+1)= (x﹣a),
即y= x+mln(a+1)﹣ ,
函數(shù)g(x)= 在點(diǎn)(b, )處的切線(xiàn)方程為y﹣ = (x﹣b),
即y= x+ .
y=f(x)與y=g(x)的圖象有且僅有一條公切線(xiàn)
所以 = (1),mln(a+1)﹣ = (2),
有唯一一對(duì)(a,b)滿(mǎn)足這個(gè)方程組,且m>0
由(1)得:a+1=m(b+1)2代入(2)消去a,整理得:
2mln(b+1)+ +mlnm﹣m﹣1=0,關(guān)于b(b>﹣1)的方程有唯一解
令t(b)=2mln(b+1)+ +mlnm﹣m﹣1,
t′(b)= ﹣ = ,
方程組有解時(shí),m>0,所以t(b)在(﹣1,﹣1+ )單調(diào)遞減,在(﹣1+ ,+∞)上單調(diào)遞增.
所以t(b)min=t((﹣1+ )=m﹣mlnm﹣1.
由b→+∞,t(b)→+∞;b→﹣1,t(b)→+∞,
只需m﹣mlnm﹣1=0
令u(m)=m﹣mlnm﹣1,u′(m)=﹣lnm在m>0為單減函數(shù),
且m=1時(shí),u′(m)=0,即u(m)min=u(1)=0,
所以m=1時(shí),關(guān)于b的方程2mln(b+1)+ +mlnm﹣m﹣1=0有唯一解.
此時(shí)a=b=0,公切線(xiàn)方程為y=x
【解析】(Ⅰ)求得F(x)的導(dǎo)數(shù),討論當(dāng)m≤0時(shí),當(dāng)m>0時(shí),由導(dǎo)數(shù)大于0,可得增區(qū)間;導(dǎo)數(shù)小于0,可得減區(qū)間,注意定義域;(Ⅱ)分別求出f(x),g(x)在切點(diǎn)處的斜率和切線(xiàn)方程,化為斜截式,可得y=f(x)與y=g(x)的圖象有且僅有一條公切線(xiàn)等價(jià)為 = (1),mln(a+1)﹣ = (2),有唯一一對(duì)(a,b)滿(mǎn)足這個(gè)方程組,且m>0,消去a,得到b的方程,構(gòu)造函數(shù),求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性,得到最值,即可得到a=b=0,公切線(xiàn)方程為y=x.
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】是定義在R上的函數(shù),對(duì)∈R都有,且當(dāng)>0時(shí),<0,且=1.
(1)求的值;
(2)求證:為奇函數(shù);
(3)求在[-2,4]上的最值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知某公司為鄭州園博園生產(chǎn)某特許商品,該公司年固定成本為10萬(wàn)元,每生產(chǎn)千件需另投入2 .7萬(wàn)元,設(shè)該公司年內(nèi)共生產(chǎn)該特許商品工x千件并全部銷(xiāo)售完;每千件的銷(xiāo)售收入為R(x)萬(wàn)元,
且,
(I)寫(xiě)出年利潤(rùn)W(萬(wàn)元〉關(guān)于該特許商品x(千件)的函數(shù)解析式;
〔II〕年產(chǎn)量為多少千件時(shí),該公司在該特許商品的生產(chǎn)中所獲年利潤(rùn)最大?
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中為實(shí)數(shù).
(1)若曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為,試求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng),,且時(shí),若恒有,試求實(shí)數(shù)的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知過(guò)拋物線(xiàn)G:y2=2px(p>0)焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)G交于M、N兩點(diǎn)(M在x軸上方),滿(mǎn)足 , ,則以M為圓心且與拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A.
B.
C.
D.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=(m2-m-1)·是冪函數(shù),對(duì)任意x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,滿(mǎn)足,若a,b∈R且a+b>0,ab<0,則f(a)+f(b)的值( )
A. 恒大于0 B. 恒小于0
C. 等于0 D. 無(wú)法判斷
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , Sn=2an﹣1,{bn}是等差數(shù)列,且b1=a1 , b4=a3 .
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)若 ,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn .
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某理科考生參加自主招生面試,從7道題中(4道理科題3道文科題)不放回地依次任取3道作答.
(1)求該考生在第一次抽到理科題的條件下,第二次和第三次均抽到文科題的概率;
(2)規(guī)定理科考生需作答兩道理科題和一道文科題,該考生答對(duì)理科題的概率均為,答對(duì)文科題的概率均為,若每題答對(duì)得10分,否則得零分.現(xiàn)該生已抽到三道題(兩理一文),求其所得總分的分布列與數(shù)學(xué)期望.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在50和350之間所有末位數(shù)是1的整數(shù)之和是( )
A. 5880 B. 5539 C. 5208 D. 4877
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專(zhuān)區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專(zhuān)區(qū) | 涉歷史虛無(wú)主義有害信息舉報(bào)專(zhuān)區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專(zhuān)區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話(huà):027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com