Question

如圖，在三棱錐中，底面，，為的中點(diǎn)， 為的中點(diǎn)，，.

（1）求證：平面；
（2）求與平面成角的正弦值；
（3）設(shè)點(diǎn)在線段上，且，平面，求實(shí)數(shù)的值.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3）.

試題分析：（1）求證：平面，證明線面垂直，先證線線垂直，即證線和平面內(nèi)兩條相交直線垂直，注意到為的中點(diǎn)，且，則，再找一條直線與垂直即可，由已知底面，既得，可證平面，即可，由已知，這樣平面，從而，問題得證．（2）求與平面成角的正弦值，求線面角，即求線和射影所成的角，本題找射影相對(duì)困難，可用向量法，首先建立空間坐標(biāo)系，先找三條兩兩垂直的直線作為坐標(biāo)軸，在平面中，過點(diǎn)作因?yàn)?平面，所以 平面，由 底面，得，，兩兩垂直，這樣以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的一個(gè)法向量，利用線面角的正弦值等于線和法向量的夾角的余弦值即可求出與平面成角的正弦值；（3）求實(shí)數(shù)的值，由于點(diǎn)在線段上，且平面，由，求出的坐標(biāo)，再求出平面的一個(gè)法向量，利用線面平行，既線和法向量垂直，即線對(duì)應(yīng)的向量和法向量數(shù)量積等于零，即可求出的值．
（1）因?yàn)?底面，底面，所以 ，      1分
又因?yàn)?， ， 所以 平面，             2分
又因?yàn)?平面，所以 .                3分
因?yàn)?是中點(diǎn)，
所以 ，又因?yàn)?，所以 平面.             5分
（2）在平面中，過點(diǎn)作因?yàn)?平面，所以 平面，
由 底面，得，，兩兩垂直，
所以以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系，                                                
則，，，，，.  6分
設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，，由  得 ，令，得.            8分

設(shè)與平面成角為，因?yàn)?，
所以 ，
即 .        10分
（3）因?yàn)?，，所以 ，
又因?yàn)?，所以 .        12分
因?yàn)?平面，平面的法向量，所以 ，
解得 .         14分