Question

如圖，四面體ABCD中，O是BD的中點，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=

2

．
（1）求證：AO⊥平面BCD；
（2）求異面直線AB與CD所成角的余弦值．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,異面直線及其所成的角

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）求出AC，連結CO，證明AO⊥CO，然后利用直線與平面垂直的判定定理證明AO⊥平面BCD．
（2）分別取BC、AC的中點E、F，連結EF、EG，說明∠FEO或其補角就是異面直線AB、CD所成的角，連結FO，在△EFO中，求解cos∠FEO即可．

解答： 解：（1）證明：在三角形ABC中，因為AB=AD=

2

，O是BD中點，
所以AO⊥BD，且AC=

( 2 )2-1

=1------------------（2分）
連結CO，在等邊三角形BCD中易得CO=

3

，
所以AC²=2²=1²+（

3

）²=AO²+CO²，
所以AO⊥CO--------------------------------（4分）
因為CO∩BD=O，CO、BD?平面BCD
所以AO⊥平面BCD---------------------（6分）
（2）分別取BC、AC的中點E、F，連結EF、EG
因為EF

∥

.

AB，EO

∥

.

1

2

CD
所以∠FEO或其補角就是異面直線AB、CD所成的角---------（8分）
連結FO，因為AO⊥平面BCD，所以AO⊥CO，
所以在Rt△ACO中，斜邊AC上的中線FO=

1

2

AC=1，
又因為EO=

1

2

CD=1，EF=

1

2

AB=

2

2

，
所以在△EFO中，cos∠FEO=

EF2+EO2-FO2

2EF•EO

=

2

4

因為cos∠FEO＞0，所以異面直線AB、CD所成的角的余弦值是

2

4

-------------------（14分）

點評：本題列出直線與垂直的判定定理的應用，異面直線所成角的求法，考查轉化思想的應用．