Question

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，A（0，2

2

），B（0，-2

2

），S_△ABC=

2 2

3

，動點P的軌跡為曲線E，曲線E過點C且滿足|PA|+|PB|為常數(shù)．
（1）求曲線E的方程；
（2）是否存在直線L，使L與曲線E交于不同的兩點M、N，且線段MN恰被直線x=-

1

2

平分？若存在，求出L的斜率的取值范圍；若不存在說明理由．

Answer 1

考點：軌跡方程,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用Rt△ABC中，∠BAC=90°，A（0，2

2

），B（0，-2

2

），S_△ABC=

2 2

3

，可得|AC|=

1

3

，|BC|=

17

3

，由|PA|+|PB|的值為常數(shù)知動點P的軌跡為焦點在y軸上的橢圓，求出幾何量，即可求橢圓方程；
（2）假設(shè)存在直線l，設(shè)出方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合根的判別式，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）易知|AB|=4

2

，又因為∠BAC=90°，所以S_△ABC=

1

2

×4

2

×|AC|=

2 2

3

，
所以|AC|=

1

3

，|BC|=

17

3

由|PA|+|PB|的值為常數(shù)知動點P的軌跡為焦點在y軸上的橢圓------（4分）
其中c=2

2

，2a=|AB|+|AC|=6，
∴a=3，b=1，
∴曲線E的方程x2+

y2

9

=1------（6分）
（2）假設(shè)L存在，因為L與直線x=-

1

2

相交，所以直線L有斜率，
設(shè)L的方程為y=kx+m----------------（7分）
代入橢圓方程得（k²+9）x²+2kmx+m²-9=0 （*）------（9分）
因為直線L與橢圓有兩個交點
所以（*）的判別式△=4k²m²-4（k²+9）（m²-9）＞0，即m²-k²-9＜0①
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=

-2km

k2+9

-------------（11分）
因為MN被直線x=-

1

2

平分
所以

-2km

k2+9

=-1，所以m=

k2+9

2k

②----------（12分）
把②代入①得（

k2+9

2k

）²-k²-9＜0
因為k²+9＞0，所以k²＞3，
所以k＜-

3

或k＞

3

即直線L的斜率取值范圍是（-∞，-

3

）∪（

3

，+∞）------------（14分）

點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．