設(shè)x=3是函數(shù)f（x）=（ax-2）ex的一個(gè)極值點(diǎn)．
（I）求實(shí)數(shù)a的值；
（II）證明：對于任意x1，x2∈[2，4]，都有f（x1）-f（x2）≤數(shù)學(xué)公式．

（Ⅰ）解：f′（x）=（ax+a-2）ex．由f′（3）=0得a=．
當(dāng)a=時(shí)，f′（x）=（x-3）ex在x=3處的左右異號(hào)，所以f（x）在x=3處取得極值，
故a=．
（Ⅱ）證明：f（x）=（x-4）ex，f′（x）=（x-3）ex．當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，f′（x）≤0，f（x）在區(qū)間[2，3]上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（3，4]時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在區(qū)間（3，4]上單調(diào)遞增．所以在區(qū)間[2，4]上．
又f（2）=-e2，f（4）=0，所以在區(qū)間[2，4]上fmax（x）=f（4）=0．
對于任意x1，x2∈[2，4]，都有f（x1）-f（x2）≤fmax（x）-fmin（x）=．
即．
分析：（Ⅰ）由f′（3）=0解出a值，再驗(yàn)證在x=3左右導(dǎo)數(shù)變號(hào)．
（II）證明對于任意x1，x2∈[2，4]，都有f（x1）-f（x2）≤可轉(zhuǎn)化為證明．
點(diǎn)評：本題考查了應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值及不等式恒成立問題，注意f′（x0）=0是可導(dǎo)函數(shù)f（x）在x=x0處取得極值的必要不充分條件，認(rèn)真體會(huì)轉(zhuǎn)化思想在本題中應(yīng)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)x=3是函數(shù)f（x）=（x2+ax+b）e3-x（x∈R）的一個(gè)極值點(diǎn)．
（Ⅰ）求a與b的關(guān)系式（用a表示b），并求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)a＞0，g(x)=(a2+
254
)ex．若存在ξ1，ξ2∈[0，4]使得|f（ξ1）-g（ξ2）|＜1成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)x=3是函數(shù)f（x）=（x2+ax+b）e3-x的一個(gè)極值點(diǎn)．
（1）求a與b的關(guān)系式（用a表示b），
（2）討論f（x）的單調(diào)性；
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，
3
2
]上存在零點(diǎn)，求a的取值范圍；
（4）設(shè)a＞0，g(x)=(a2+
25
4
)ex．若存在x1，x2∈[0，4]，使得|f（x1）-g（x2）|＜1成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)x=3是函數(shù)f（x）=（ax-2）ex的一個(gè)極值點(diǎn)．
（I）求實(shí)數(shù)a的值；
（II）證明：對于任意x1，x2∈[2，4]，都有f（x1）-f（x2）≤
12
e3．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•廣元二模）設(shè)x=3是函數(shù)f（x）=（
x
2
 
+ax+b)
e
3-x
 
(x∈R)的一個(gè)極值點(diǎn)．
①求a與b的關(guān)系式（用a表示b）；
②求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
③設(shè)a＞0，g（x）=(
a
2
 
+
25
4
)
e
x
 
，若存在ξ1，ξ2∈[0，4]，使得|f（ξ1）-g（ξ2）|＜1成立．求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013年四川省廣元市高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

設(shè)x=3是函數(shù)f（x）=（的一個(gè)極值點(diǎn)．
①求a與b的關(guān)系式（用a表示b）；
②求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
③設(shè)a＞0，g（x）=，若存在ξ1，ξ2∈[0，4]，使得|f（ξ1）-g（ξ2）|＜1成立．求a的取值范圍．

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