設x=3是函數(shù)f(x)=(x2+ax+b)e3-x的一個極值點.
(1)求a與b的關系式(用a表示b),
(2)討論f(x)的單調性;
(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,
3
2
]
上存在零點,求a的取值范圍;
(4)設a>0,g(x)=(a2+
25
4
)ex
.若存在x1,x2∈[0,4],使得|f(x1)-g(x2)|<1成立,求a的取值范圍.
分析:(1)由已知中函數(shù)f(x)=(x2+ax+b)e3-x(x∈R)的一個極值點是x=3.我們根據(jù)函數(shù)在某點取得極值的條件,易得f′(3)=0,進而構造方程求出a與b的關系式;
(2)消去b得到函數(shù),然后求出導函數(shù),分析函數(shù)在各個區(qū)間上的導數(shù)符號,即可得到答案.
(3)函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,
3
2
]
上存在零點即(x2+ax+b)e3-x=0在區(qū)間[-1,
3
2
]
上有根,然后將a分離,研究等式另一側的值域即可求出a的范圍;
(4)根據(jù)g(x)=(a2+
25
4
)ex,利用導數(shù)法確定函數(shù)的單調性,再根據(jù)(1)的結論,我們可以構造一個關于a的不等式,解不等式即可得到答案.
解答:解:(1)f′(x)=-[x 2+(a-2)x+b-a]e3-x
由f′(3)=0,得-[32+(a-2)3+b-a]e3-x=0,即得b=-3-2a---(3分)
(2)f′(x)=-[x2+(a-2)x-3-2a-a e3-x=-[x2+(a-2)x-3-3a]e3-x
=-(x-3)(x+a+1)e3-x
令f′(x)=0,得x1=3或x2=-a-1,
①由于x=3是極值點,所以3+a+1≠0,那么a≠-4----------(4分)
②當a<-4時,x2>3=x1,則f(x)增區(qū)間為(3,-a-1),減區(qū)間為 (-∞,3)(-a-1,+∞)--(5分)
③當a>-4時,x2<3=x1,f(x)增區(qū)間為(-a-1,3),減區(qū)間為(-∞,-a-1)(3,+∞)---(6分)
(3)函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,
3
2
]
上存在零點即(x2+ax+b)e3-x=0在區(qū)間[-1,
3
2
]
上有根
所以x2+ax-3-2a=0即a=
x2-3
2-x
在區(qū)間[-1,
3
2
]
上有根----------(7分)
u(x)=
x2-3
2-x
,則u/(x)=
-(x-1)(x-3)
(2-x)2

則u(x)在[-1,1]上遞減,在[1,
3
2
]
遞增,------------------(9分)
u(-1)=-
2
3
,u(1)=-2,u(
3
2
)=-
3
2
所以u(x)的值域為[-2,-
2
3
]

所以a∈[-2,-
2
3
]
時,函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,
3
2
]
上存在零點----------(10分)
(4)當a>0時,f(x)在區(qū)間(0,3)上的遞增,在區(qū)間(3,4)上遞減,
而f (0)=-(2a+3)e3<0,f (4)=(2a+13)e-1>0,f (3)=a+6
那么f(x)在區(qū)間[0,4]上的值域是[-(2a+3)e3,a+6]------(12分)
g(x)=(a2+
25
4
)ex
.在區(qū)間[0,4]上是增函數(shù)
它在區(qū)間[0,4]上的值域是[a2+
25
4
,(a2+
25
4
)e4]
--------(13分)
由于(a2+
25
4
)-(a+6)=a2-a+
1
4
=(a-
1
2
)
2
≥0
,
所以只須(a2+
25
4
)-(a+6)<1
且a>0,
解得0<a<
3
2
-----------------------(15分)
點評:本題主要考查了函數(shù)的極值和函數(shù)的單調性,以及零點問題和恒成立問題,是一道綜合題,考查的知識點較多,屬于中檔題.
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設x=3是函數(shù)f(x)=(x2+ax+b)e3-x(x∈R)的一個極值點.
(Ⅰ)求a與b的關系式(用a表示b),并求f(x)的單調區(qū)間;
(Ⅱ)設a>0,g(x)=(a2+
254
)ex
.若存在ξ1,ξ2∈[0,4]使得|f(ξ1)-g(ξ2)|<1成立,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設x=3是函數(shù)f(x)=(ax-2)ex的一個極值點.
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12
e3

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•廣元二模)設x=3是函數(shù)f(x)=(
x
2
 
+ax+b)
e
3-x
 
(x∈R)
的一個極值點.
①求a與b的關系式(用a表示b);
②求f(x)的單調區(qū)間;
③設a>0,g(x)=(
a
2
 
+
25
4
)
e
x
 
,若存在ξ1,ξ2∈[0,4],使得|f(ξ1)-g(ξ2)|<1成立.求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源:2013年四川省廣元市高考數(shù)學二模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

設x=3是函數(shù)f(x)=(的一個極值點.
①求a與b的關系式(用a表示b);
②求f(x)的單調區(qū)間;
③設a>0,g(x)=,若存在ξ1,ξ2∈[0,4],使得|f(ξ1)-g(ξ2)|<1成立.求a的取值范圍.

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