Question

已知函數(shù)f（x）的定義域為[0，1]．若函數(shù)f（x）滿足：對于給定的T（0＜T＜1），存在t∈[0，1-T]．使得f（t+T）=f（t）成立，那么稱f（x）具有性質(zhì)P（T）．
（1）函數(shù)f（x）=sin（x∈[0，1]）是否具有性質(zhì)P（

1

4

）？說明理由；
（2）已知函數(shù)f（x）=

-3x+1   (0≤x≤ 1 3 ) 6x-2       ( 1 3 ＜x＜ 2 3 ) -3x+4    ( 2 3 ≤x≤1)

具有性質(zhì)P（T），求T的最大值；
（3）已知函數(shù)f（x）的定義域為[0，1]，滿足f（0）=f（1），且f（x）的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，問：是否存在正整數(shù)n，使得函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P（

1

n

），若存在，求出這樣的n的取值集合；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：函數(shù)與方程的綜合運用

專題：

分析：題干中給出了一種定義，那么解題的時候就嚴格按照定義的要求來解答，簡單的說要把我們已知的函數(shù)看成是定義中的函數(shù)，代入即可求解．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=sinx（x∈[0，1]），不具有性質(zhì)P（

1

4

）
 證明如下：
對任何t∈[0，1-

1

4

]=[0，

3

4

]，均有0≤t≤t+

1

4

≤1
由于函數(shù)f（x）=sinx，在x∈[0，1]上單調(diào)遞增
∴f（t）＜f（t+

1

4

）
所以，函數(shù)f（x）=sinx（x∈[0，1]不具有性質(zhì)P（

1

4

）
（2）T的最大值為

1

2

．求解如下：
∵f（

1

2

+

1

2

）=f（1）=-3×1-4=1，又f（

1

2

）=6×

1

2

-2=1
∴f（t+

1

2

）=f（t）在t∈[0，1-

1

2

]上有解，t=

1

2

因此，f（x）具有性質(zhì)P（

1

2

），從而T可取到

1

2

   下證：

1

2

＜T＜1不可能出現(xiàn)．
首先，當x∈（0，

1

3

]時，f（x）=-3x+1＜1，當x∈（

1

3

，

1

2

）時，f（x）=6x-2＜6×

1

2

-2=1
即，當x∈（0，

1

2

）時，均有f（x）＜1，同理可得，當x∈（

1

2

，1），均有f（x）＞1．
假設(shè)

1

2

＜T＜1，那么，當t∈[0，1-T]時
①若t=0，則f（t）=f（0）=1，又t+T=T∈（

1

2

，1），
   所以f（t+T）=f（T）＞1，即f（t+T）＞f（t）
②若t∈（0，1-T]?（0，

1

2

），則f（t）＜1，又t+T∈（T，1），注意到

1

2

＜T＜1，故 
 f（t+T）＞1，故f（t+T）＞f（t）
這就是說，如果

1

2

＜T＜1，那么，當t∈[0，1-T]時，
均有f（t+T）＞f（t），即f（t+T）=f（t）均不成立 
綜上所述，T的最大值為

1

2

（3）任取n∈N⁺，n≥2，設(shè)h（x）=f（x+

1

n

）-f（x），其中x∈[0，

n-1

n

]，則有
      h（0）=f（

1

n

）-f（0）
      h（

1

n

）=f（

2

n

）-f（

1

n

）
      h（

2

n

）=f（

3

n

）-f（

2

n

）
…
      h（

t

n

）=f（

t+1

n

）-f（

t

n

）
…
       h（

n-1

n

）=f（1）-f（

n-1

n

）
以上各式相加得h（0）+h（

1

n

）+f（

2

n

）+…+h（

t

n

）+…+h（

n-1

n

）=f（1）-f（0）=0，
即h（0）+h（

1

n

）+f（

2

n

）+…+h（

t

n

）+…+h（

n-1

n

）=0
當h（0），h（

1

n

），f（

2

n

），…，h（

n-1

n

）中有一個為0時，不妨設(shè)為h（

i

n

）=0，這里i∈{0，1，2，…，n-1}，
而0=h（

i

n

）=f（

i

n

+

1

n

）-f（

i

n

），即f（

i

n

+

1

n

）-f（

i

n

）=0?f（

i

n

+

1

n

）=f（

i

n

）故，函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P（

1

n

）（n∈N⁺，n≥2）
當h（0），h（

1

n

），f（

2

n

），…，h（

n-1

n

）均不為0時，因為其和為0，所以必然存在正數(shù)與負數(shù)，
不妨設(shè)h（

i

n

）＞0，h（

j

n

）＜0，（i＜j，i，j∈{0，1，2…，n-1}）
由于h（x）的圖象也是連續(xù)不斷的曲線，故，至少存在一個t∈（

i

n

，

j

n

）使得h（t）=0，即f（t+

1

n

）-f（t）=0．
亦即f（t+

1

n

）=f（t），故函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P（

1

n

）（n∈N⁺，n≥2）
綜上所述，存在正整數(shù)n，且n的取值集合是{n|n∈N⁺，n≥2}．

點評：做這類型的題，一是要按照給定的定義，把已知的函數(shù)代入進去進行嘗試，二是要注意函數(shù)的值域和定義域要滿足條件，三是要考慮函數(shù)的單調(diào)性，四是要在沒有函數(shù)方程的時候構(gòu)造一個函數(shù)．