Question

已知sinθ+cosθ=

1

5

，且

π

2

≤θ≤π，則cos2θ=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二倍角的余弦

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值

分析：把題設(shè)等式兩邊平方利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角公式求得sin2θ的值，進(jìn)而利用θ的范圍求得cosθ-sinθ的值，最后利用二倍角的余弦公式求得cos2θ的值．

解答： 解：∵sinθ+cosθ=

1

5

，
∴兩邊平方，得sin²θ+2sinθcosθ+cos²θ=

1

25

，
即1+sin2θ=

1

25

．
∴sin2θ=-

24

25

．
∵

π

2

≤θ≤π，
∴sinθ＞0cosθ＜0，
cosθ-sinθ=-

(cosθ-sinθ)2

=-

1-sin2θ

=-

7

5

．
∴cos2θ=cos2θ-sin2θ=（cosθ+sinθ）（cosθ-sinθ）=-

1

5

×

7

5

=-

7

25

．
故答案為：-

7

25

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角公式的化簡求值．在利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系時(shí)，一定要注意角度范圍，進(jìn)而判定出三角函數(shù)的正負(fù)．