已知函數(shù)f(x)=cos(2x-
π
3
-
1
2
cos2x+1

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及最大值;
(2)設(shè)A,B,C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角,若AB=1,sinB=
1
3
f(
2C
3
)=
7
4
,且C為銳角,求AC的長(zhǎng).
分析:(1)利用兩角和公式和二倍角公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)整理,利用三角函數(shù)的周期公式氣的函數(shù)的最小正周期,進(jìn)而利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最大值.
(2)利用f(
2C
3
)=
7
4
求得sin
4c
3
的值,進(jìn)而求得
4C
3
的值,則C的值可求,進(jìn)而求得sinC的值,最后利用正弦定理求得AC.
解答:解:f(x)=cos(2x-
π
3
-
1
2
cos2x+1
=cos2xcos
π
3
+sin2xsin
π
3
-
cos2x
2
+1=1+
3
2
sin2x

(1)T=
2

當(dāng)2x=
π
2
+2kπ
,即x=
π
4
+kπ,k∈Z
時(shí),f(x)max=
2+
3
2

所以函數(shù)f(x)的最大值為
2+
3
2
,最小正周期為π.
(2)f(
2C
3
)=1+
3
2
sin
4C
3
=
7
4
,∴sin
4C
3
=
3
2

因?yàn)镃為銳角,即0<C<
π
2
,∴0<
4C
3
3
,∴
4C
3
=
π
3
,C=
π
4
,所以sinC=
2
2

在△ABC中,由正弦定理,
AC
sinB
=
AB
sinC
,得AC=
AB•sinB
sinC
=
1
3
2
2
=
2
3
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了兩角和公式,二倍角公式的化簡(jiǎn)求值,三角函數(shù)的基本性質(zhì),正弦定理的應(yīng)用.綜合考查了基礎(chǔ)知識(shí)的靈活的應(yīng)用.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
|x+
1
x
|,x≠0
0     x=0
,則關(guān)于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有5個(gè)不同實(shí)數(shù)解的充要條件是( 。
A、b<-2且c>0
B、b>-2且c<0
C、b<-2且c=0
D、b≥-2且c=0

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
3
sinxcosx-cos2x-
1
2
,x∈R.
(1)求函數(shù)f(x)的最小值和最小正周期;
(2)已知△ABC內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,滿足sinB-2sinA=0且c=3,f(C)=0,求a、b的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=lnx-
1
4
x+
3
4x
-1,g(x)=x2-2bx+4,若對(duì)任意x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),則實(shí)數(shù)b的取值范圍是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)的值域?yàn)椋ā 。?/div>

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)滿足f(0)≥2,f(1)≥2,方程f(x)=0在區(qū)間(0,1)上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為
(4,+∞)
(4,+∞)

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