Question

已知點(diǎn)M（0，-1），直線(xiàn)l：y=mx+1與曲線(xiàn)C：ax²+y²=2（m，a∈R）交于A、B兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)m=0時(shí)，有∠AOB=

π

3

，求曲線(xiàn)C的方程；
（2）當(dāng)實(shí)數(shù)a為何值時(shí)，對(duì)任意m∈R，都有

OA

•

OB

為定值T？指出T的值；
（3）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足

MP

=

OA

+

OB

，當(dāng)a=-2，m變化時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡方程；
（4）是否存在常數(shù)M，使得對(duì)于任意的a∈（0，1），m∈R，都有

OA

•

OB

＜M恒成立？如果存在，求出的M得最小值；如果不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）直線(xiàn)方程為y=1，代入曲線(xiàn)C：ax²+y²=2求得A，B的坐標(biāo)，利用 ∠AOB=

π

3

可求曲線(xiàn)的方程；
（2）將直線(xiàn)l：y=mx+1與曲線(xiàn)C：ax²+y²=2聯(lián)立，化簡(jiǎn)得（a+m²）x²+2mx-1=0，假設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，利用

OA

•

OB

=T是定值，可求a及T；
（3）將條件

MP

=

OA

+

OB

轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的形式，從而可表達(dá)點(diǎn)P的從而，消去m得點(diǎn)P的軌跡方程；
（4）由（2）知：

OA

•

OB

=

m 2-1

m2+a

+1，求得對(duì)于任意的a∈（0，1），m∈R，它的最大值小于2，故取M的值大于2時(shí)，都有

OA

•

OB

＜M恒成立，故存在常數(shù)M，使得對(duì)于任意的a∈（0，1），m∈R，都有

OA

•

OB

＜M恒成立且M得最小值為：2．

解答：解：（1）由題意，直線(xiàn)方程為y=1，代入曲線(xiàn)C：ax²+y²=2可得 A(-

1 a

，1)，B(

1 a

，1)
∵∠AOB=

π

3

，∴tan300 =

1 a

，∴a=3
∴曲線(xiàn)C的方程為3x²+y²=2
（2）將直線(xiàn)l：y=mx+1與曲線(xiàn)C：ax²+y²=2聯(lián)立，化簡(jiǎn)得（a+m²）x²+2mx-1=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則知 x1+x2=-

2m

m2+a

，x1x2=

-1

m2+a

，
∴x₁x₂+y₁y₂=

-1

m2+a

+（mx₁+1）（mx₂+1）=

m 2-1

m2+a

+1
對(duì)任意m∈R，都有

OA

•

OB

=T成立．
得x₁x₂+y₁y₂=T定值，
∴可有a=-1，此時(shí)T=2；
（3）由（2）知 x1+x2=

2m

m2-2

，y1+y2=

4m2-4

m2-2

設(shè)P（x，y），則（x，y+1）=（x₁+x₂，y₁+y₂）
∴x=-

2m

m2-2

，y=-

m2+2

m2-2

消去m得：（y-2）²-2x²=1，此即為點(diǎn)P的軌跡方程；
（4）由（2）知：

OA

•

OB

=

m 2-1

m2+a

+1，
對(duì)于任意的a∈（0，1），m∈R，它的最大值小于2，
故取M的值大于2時(shí)，都有

OA

•

OB

＜M恒成立，
故存在常數(shù)M，使得對(duì)于任意的a∈（0，1），m∈R，都有

OA

•

OB

＜M恒成立，
M得最小值為2．

點(diǎn)評(píng)：本題的可得時(shí)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題，解答關(guān)鍵是直線(xiàn)與曲線(xiàn)方程聯(lián)立解決位置關(guān)系問(wèn)題，計(jì)算量大，有難度．