Question

【題目】如圖，在四棱錐 中，底面 是菱形， ， 平面 ， ， ， ， 是 中點(diǎn)．

（I）求證：直線 平面 ．
（II）求證：直線 平面 ．
（III）在 上是否存在一點(diǎn) ，使得二面角 的大小為 ，若存在，確定 的位置，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】解：證明：（I）在 上取點(diǎn) ，使 ，連接 ， ，

因?yàn)? ， ，

所以 ，且 ，

因?yàn)? ， ，

所以 ，且 ，

所以四邊形 為平行四邊形，

所以 ，

又 平面 , 平面 ,

所以 平面

（Ⅱ）因?yàn)? 是 中點(diǎn)，底面 是菱形， ，

所以 ，

因?yàn)? ，

所以 ，

所以 ．

又 平面 ，

所以

又

所以直線 平面

（III）由（Ⅱ）可知 ， ， ，相互垂直，以 為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz．

則 ， ， ，

假設(shè)存在點(diǎn)G滿足條件，其坐標(biāo)為

設(shè)平面 的一個(gè)法向量為 ，

由 ，得 ，

令 ，則

同理可得平面 的法向量 ，

由題意得

，

解得

所以點(diǎn) 。

所以當(dāng)點(diǎn) 與點(diǎn) 重合時(shí)，二面角 的大小為 ．

因此點(diǎn) 為所求的點(diǎn)。

【解析】(1)根據(jù)題意作出輔助線結(jié)合已知可得到四邊形 M F N A 為平行四邊形，即A M ∥ N F。再由線面平行的判定定理可得A M ∥ 平面 P N C。(2)由E是AB的中點(diǎn)底面ABCD是菱形， ∠ D A B = 60 °可得∠ A ED = 9 0 °進(jìn)而得出 C D ⊥ D E ，再利用線面垂直的判定定理可得結(jié)論。(3)根據(jù)（2）的結(jié)論可知D P ， D E ， D C ，相互垂直，以 D 為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，然后利用平面法向量所成角的余弦值即可求得G點(diǎn)的位置。
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用直線與平面垂直的判定和直線與平面垂直的性質(zhì)，掌握一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行即可以解答此題．