Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax2+（2a﹣1）x﹣lnx，a∈R．
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線經過點（2，11），求實數(shù)a的值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（2，3）上單調，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）設 ，若對x1∈（0，+∞），x2∈[0，π]，使得f（x1）+g（x2）≥2成立，求整數(shù)a的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得， ，

∴f'（1）=2（2a﹣1），∵f（1）=3a﹣1，

∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=2（2a﹣1）（x﹣1）+3a﹣1，

代入點（2，11），得a=2

（2）解：∵ ，

∴若函數(shù)f（x）在區(qū)間（2，3）上單調遞增，則y=2ax﹣1≥0在（2，3）恒成立，∴ ，得 ；

若函數(shù)f（x）在區(qū)間（2，3）上單調遞減，則y=2ax﹣1≤0在（2，3）恒成立，∴ ，得 ，

綜上，實數(shù)a的取值范圍為

（3）解：由題意得，fmin（x）+gmax（x）≥2，

∵ ，∴ ，即 ，

由 ，

當a≤0時，∵f（1）＜0，則不合題意；

當a＞0時，由f'（x）=0，得 或x=﹣1（舍去），

當 時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減，

當 時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增．

∴ ，即 ，

整理得， ，

設 ，∴ ，∴h（x）單調遞增，∵a∈Z，∴2a為偶數(shù)，

又∵ ， ，

∴2a≥4，

故整數(shù)a的最小值為2

【解析】（1）根據題意，對f（x）進行求導，由導數(shù)的幾何意義分析可得y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程，代入點（2,11），計算可得答案，（2）由函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)單調性的關系，分函數(shù)在（2,3）上單調遞增和單調遞減兩種情況討論，綜合即可得答案，（3）由題意，fmin（x）+gmax（x）≥2，即 f ( x ) = a x 2 + ( 2 a 1 ) x l n x ≥ ，對f（x）求導后對a進行分類討論即可得答案.
【考點精析】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性的相關知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減才能正確解答此題．