Question

已知函數(shù)f（x）=x-alnx-1，g（x）=

ex

ex

，a＜0．
（1）曲線y=f（x）在x=1處的切線與直線2x-y+1=0平行，求a的值；
（2）若對(duì)任意的x₁、x₂∈[3，4]（x₁≠x₂），|f（x₂）-f（x₁）|＜|

1

g(x1)

-

1

g(x2)

|恒成立，求a的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由已知切線方程可得1-a=2，即可解得a；
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）=1-

a

x

＞0在x∈[3，4]上恒成立，可得函數(shù)f（x）在x∈[3，4]上單調(diào)遞增．設(shè)u（x）=

1

g(x)

=

ex

ex

，同理利用u′（x）＞0在x∈[3，4]上恒成立，可得u（x）在x∈[3，4]上為增函數(shù)．不妨設(shè)x₂＞x₁，則|f（x₂）-f（x₁）|＜|

1

g(x1)

-

1

g(x2)

||恒成立?f（x₂）-f（x₁）＜u（x₂）-u（x₁）恒成立，即f（x₂）-u（x₂）＜f（x₁）-u（x₁）在x∈[3，4]上恒成立．設(shè)F（x）=f（x）-u（x）=x-alnx-1-

ex

ex

．則F（x）在x∈[3，4]上為減函數(shù)．分離參數(shù)利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)一步研究即可得出．

解答： 解：（1）f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=1-

a

x

，
曲線y=f（x）在x=1處的切線斜率為k=1-a，
由于切線與直線2x-y+1=0平行，即有k=2，
解得a=-1；
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）=1-

a

x

＞0在x∈[3，4]上恒成立，
∴函數(shù)f（x）在x∈[3，4]上單調(diào)遞增．
設(shè)u（x）=

1

g(x)

=

ex

ex

，∵u′（x）=

(x-1)ex-1

x2

＞0在x∈[3，4]上恒成立，
∴u（x）在x∈[3，4]上為增函數(shù)．
不妨設(shè)x₂＞x₁，則|f（x₂）-f（x₁）|＜|

1

g(x2)

-

1

g(x1)

|恒成立
?f（x₂）-f（x₁）＜u（x₂）-u（x₁）恒成立，
即f（x₂）-u（x₂）＜f（x₁）-u（x₁）在x∈[3，4]上恒成立．
設(shè)F（x）=f（x）-u（x）=x-alnx-1-

ex

ex

．
則F（x）在x∈[3，4]上為減函數(shù)．
F′（x）=1-

a

x

-

(x-1)ex-1

x2

≤0在x∈[3，4]上恒成立，化為a≥x-e^x-1+

ex-1

x

恒成立．
設(shè)H（x）=x-e^x-1+

ex-1

x

∵H′（x）=1-e^x-1+

(x-1)ex-1

x2

=1-e^x-1[（

1

x

-

1

2

）²+

3

4

]，x∈[3，4]．
∴e^x-1[（

1

x

-

1

2

）²+

3

4

]＞

3

4

e²＞1，x∈[3，4]．
∴H′（x）＜0在x∈[3，4]上恒成立，即H（x）為減函數(shù)．
∴H（x）在x∈[3，4]上的最大值為H（3）=3-

2

3

e²．
∴a≥3-

2

3

e²，
∴a的最小值為3-

2

3

e²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和判斷單調(diào)性，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，不等式恒成立問(wèn)題注意轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，掌握構(gòu)造函數(shù)的方法，屬于中檔題和易錯(cuò)題．