Question

已知圓C的圓心在直線y=4上，且過點A（4，8），B（8，4）．
（1）求圓的方程；
（2）過P（8，-2）作圓的切線，求切線方程．

Answer 1

解：（1）由題意設(shè)圓心坐標為（a，4），則
∵圓C過點A（4，8）和B（8，4），
∴（a-4）²+（8-4）²=（a-8）²+（4-4）²，
∴a=4，∴（a-8）²+（4-4）²=16
∴圓C的標準方程為：（x-4）²+（y-4）²=16
（2）設(shè)所求切線的向量為k，則由點斜式可得
y+2=k（x-8），即kx-y-8k-2=0，
故圓心（4，4）到直線的距離等于半徑4，
即，解得k=，
即切線方程為：5x+12y-16=0，
又直線無斜率時，直線方程為x=8符合題意
故所求切線的方程為：5x+12y-16=0，或x=8
分析：（1）由題意設(shè)圓心坐標為（a，4），由AC=BC可解a的值，進而可得圓的方程；
（2）設(shè)所求切線的向量為k，由圓心到直線的距離等于半徑可得k的值，驗證當直線的斜率不存在時也符合題意，防止漏解．
點評：本題考查圓的標準方程和切線，注意當直線無斜率的情況是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．