Question

（2013•四川）設(shè)P₁，P₂，…P_n為平面α內(nèi)的n個(gè)點(diǎn)，在平面α內(nèi)的所有點(diǎn)中，若點(diǎn)P到點(diǎn)P₁，P₂，…P_n的距離之和最小，則稱(chēng)點(diǎn)P為P₁，P₂，…P_n的一個(gè)“中位點(diǎn)”，例如，線(xiàn)段AB上的任意點(diǎn)都是端點(diǎn)A，B的中位點(diǎn)，現(xiàn)有下列命題：
①若三個(gè)點(diǎn)A、B、C共線(xiàn)，C在線(xiàn)段AB上，則C是A，B，C的中位點(diǎn)；
②直角三角形斜邊的中點(diǎn)是該直角三角形三個(gè)頂點(diǎn)的中位點(diǎn)；
③若四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D共線(xiàn)，則它們的中位點(diǎn)存在且唯一；
④梯形對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)是該梯形四個(gè)頂點(diǎn)的唯一中位點(diǎn)．
其中的真命題是

①④

（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）．

Answer 1

分析：對(duì)于①若三個(gè)點(diǎn)A、B、C共線(xiàn)，C在線(xiàn)段AB上，利用兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，則C是A，B，C的中位點(diǎn)，正確；
對(duì)于②舉一個(gè)反例，如邊長(zhǎng)為3，4，5的直角三角形ABC，此直角三角形的斜邊的中點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和為5+2.5=7.5，而直角頂點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和為7，據(jù)此進(jìn)行判斷即可；
對(duì)于③若四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D共線(xiàn)，則它們的中位點(diǎn)是中間兩點(diǎn)連線(xiàn)段上的任意一個(gè)點(diǎn)，從而它們的中位點(diǎn)存在但不唯一；
④如圖，在梯形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)O，P是任意一點(diǎn)，利用根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊得梯形對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)是該梯形四個(gè)頂點(diǎn)的唯一中位點(diǎn)．

解答：解：①若三個(gè)點(diǎn)A、B、C共線(xiàn)，C在線(xiàn)段AB上，根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，則C是A，B，C的中位點(diǎn)，正確；
②舉一個(gè)反例，如邊長(zhǎng)為3，4，5的直角三角形ABC，此直角三角形的斜邊的中點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和為5+2.5=7.5，而直角頂點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和為7，
∴直角三角形斜邊的中點(diǎn)不是該直角三角形三個(gè)頂點(diǎn)的中位點(diǎn)；故錯(cuò)誤；
③若四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D共線(xiàn)，則它們的中位點(diǎn)是中間兩點(diǎn)連線(xiàn)段上的任意一個(gè)點(diǎn)，故它們的中位點(diǎn)存在但不唯一；故錯(cuò)誤；
④如圖，在梯形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)O，P是任意一點(diǎn)，則根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊得
PA+PB+PC+PD≥AC+BD=OA+OB+OC+OD，
∴梯形對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)是該梯形四個(gè)頂點(diǎn)的唯一中位點(diǎn)．正確．
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查命題的真假判斷與應(yīng)用、新定義的應(yīng)用、三角形的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．