【題目】如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC， .點(diǎn)D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，PA=AC=4，AB=2.

（Ⅰ）求證：MN∥平面BDE；

（Ⅱ）求二面角C-EM-N的正弦值；

（Ⅲ）已知點(diǎn)H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為，求線段AH的長.

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）;（Ⅲ）或.

【解析】試題分析：本小題主要考查直線與平面平行、二面角、異面直線所成的角等基礎(chǔ)知識(shí).考查用空間向量解決立體幾何問題的方法.考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力.首先要建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，證明線面平行只需求出平面的法向量，計(jì)算直線對(duì)應(yīng)的向量與法向量的數(shù)量積為0，求二面角只需求出兩個(gè)半平面對(duì)應(yīng)的法向量，借助法向量的夾角求二面角，利用向量的夾角公式，求出異面直線所成角的余弦值，利用已知條件，求出的值.

試題解析：如圖，以A為原點(diǎn)，分別以， ， 方向?yàn)?/span>x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.依題意可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）.

（Ⅰ）證明： =（0，2，0），=（2，0， ）.設(shè)，為平面BDE的法向量，

則，即.不妨設(shè)，可得.又=（1，2， ），可得.

因?yàn)?/span>平面BDE，所以MN//平面BDE.

（Ⅱ）解：易知為平面CEM的一個(gè)法向量.設(shè)為平面EMN的法向量，則，因?yàn)?/span>， ，所以.不妨設(shè)，可得.

因此有，于是.

所以，二面角C—EM—N的正弦值為.

（Ⅲ）解：依題意，設(shè)AH=h（），則H（0，0，h），進(jìn)而可得， .由已知，得，整理得，解得，或.

所以，線段AH的長為或.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，左頂點(diǎn)為A，左焦點(diǎn)為F1（﹣2，0），點(diǎn)B（2， ）在橢圓C上，直線y=kx（k≠0）與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，直線AE，AF分別與y軸交于點(diǎn)M，N
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得無論非零實(shí)數(shù)k怎樣變化，總有∠MPN為直角？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD，且.

（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC， ，求二面角A-PB-C的余弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知向量 =（ ，cos ）， =（cos ，1），且f（x）= ．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣π，π]上的最大值和最小值及取得最值時(shí)x的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知平面向量 ， （ ≠ ）滿足 =2，且 與 ﹣ 的夾角為120° ， t∈R，則|（1﹣t） +t |的最小值是 ． 已知 =0，向量 滿足（ ﹣ ）（ ﹣ ）=0，| ﹣ |=5，| ﹣ |=3，則 的最大值為 ．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】從甲地到乙地要經(jīng)過3個(gè)十字路口，設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為.

（Ⅰ）設(shè)表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（Ⅱ）若有2輛車獨(dú)立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】[選修4―4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線l2的參數(shù)方程為.設(shè)l1與l2的交點(diǎn)為P，當(dāng)k變化時(shí)，P的軌跡為曲線C．

（1）寫出C的普通方程；

（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)l3：ρ(cosθ+sinθ) =0，M為l3與C的交點(diǎn)，求M的極徑.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四邊形為菱形， ， 與相交于點(diǎn)， 平面， 平面， ， 為中點(diǎn).

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）求二面角的正弦值；

（Ⅲ）當(dāng)直線與平面所成角為時(shí)，求異面直線與所成角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線，直線傾斜角是且過拋物線的焦點(diǎn)，直線被拋物線截得的線段長是16，雙曲線： 的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則直線與軸的交點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離是（ ）

A. 2 B. C. D. 1

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案