已知a,b>0,a+b=1,則
a+1
+
b+1
的取值范圍是
 
分析:利用導(dǎo)數(shù)或基本不等式的性質(zhì)即可得出.
解答:解:方法一:∵a,b>0,a+b=1,∴b=1-a,0<a<1,∴
a+1
+
b+1
=
a+1
+
2-a

令f(a)=
a+1
+
2-a
,a∈(0,1).
則f(a)=
1
2
a+1
-
1
2
2-a
=
2-a
-
a+1
2
a+1
2-a
=
1-2a
2
a+1
2-a
(
a+1
+
2-a
)

令f(a)=0,則a=
1
2

當(dāng)0<a<
1
2
時(shí),f(a)>0,函數(shù)f(a)單調(diào)遞增;當(dāng)
1
2
<a<1
時(shí),f(a)<0,函數(shù)f(a)單調(diào)遞減.
∴當(dāng)a=
1
2
時(shí),函數(shù)f(a)取得最大值f(
1
2
)=
1
2
+1
+
2-
1
2
=
6

又f(0)=1+
2
=f(1),∴當(dāng)a∈(0,1)時(shí),1+
2
<f(a)≤
6

因此
a+1
+
b+1
的取值范圍是(1+
2
6
]

方法二:求最大值.
∵a,b>0,a+b=1,∴(
a+1
+
b+1
)2
≤2(a+1+b+1)=6,∴
a+1
+
b+1
6
,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=
1
2
時(shí)取等號.
a+1
+
b+1
的最大值為
6
點(diǎn)評:熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式求函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2010•南充一模)已知函數(shù)f(x)圖象的兩條對稱軸x=0和x=1,且在x∈[-1,0]上f(x)單調(diào)遞增,設(shè)a=f(3),b=f(
2
)
,c=f(2),則a,b,c的大小關(guān)系是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•松江區(qū)二模)已知雙曲線C的中心在原點(diǎn),D(1,0)是它的一個(gè)頂點(diǎn),
d
=(1,
2
)
是它的一條漸近線的一個(gè)方向向量.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若過點(diǎn)(-3,0)任意作一條直線與雙曲線C交于A,B兩點(diǎn) (A,B都不同于點(diǎn)D),求
DA
DB
的值;
(3)對于雙曲線Γ:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0,a≠b)
,E為它的右頂點(diǎn),M,N為雙曲線Γ上的兩點(diǎn)(M,N都不同于點(diǎn)E),且EM⊥EN,求證:直線MN與x軸的交點(diǎn)是一個(gè)定點(diǎn).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•虹口區(qū)一模)已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為實(shí)數(shù),a≠0),定義域D:[-1,1]
(1)當(dāng)a=1,b=-1時(shí),若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)恒小于零,求c的取值范圍;
(2)當(dāng)a=1,常數(shù)b<0時(shí),若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)恒不為零,求c的取值范圍;
(3)當(dāng)b>2a>0時(shí),在D上是否存在x,使得|f(x)|>b成立?(要求寫出推理過程)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知a>b>0,全集U=R,M={x|b<x<
ab
},N={x|
a
b
<x<a},P={x|b<x≤
a
b
},則( 。
A、P=M∩(CUN)
B、P=(CUM)∩N
C、P=M∩N
D、P=M∪N

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:松江區(qū)二模 題型:解答題

已知雙曲線C的中心在原點(diǎn),D(1,0)是它的一個(gè)頂點(diǎn),
d
=(1,
2
)
是它的一條漸近線的一個(gè)方向向量.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若過點(diǎn)(-3,0)任意作一條直線與雙曲線C交于A,B兩點(diǎn) (A,B都不同于點(diǎn)D),求
DA
DB
的值;
(3)對于雙曲線Γ:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0,a≠b)
,E為它的右頂點(diǎn),M,N為雙曲線Γ上的兩點(diǎn)(M,N都不同于點(diǎn)E),且EM⊥EN,求證:直線MN與x軸的交點(diǎn)是一個(gè)定點(diǎn).

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