Question

三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC．
（Ⅰ）證明：平面PAB⊥平面PBC；
（Ⅱ）若PA=

6

，PC=3，PB與底面ABC成60°角，求三棱錐P-ABC的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用線面垂直的判定定理證明BC⊥平面PAB，再利用面面垂直的判定定理證明平面PAB⊥平面PBC；
（Ⅱ）計(jì)算AB，AC，BC的值，利用三棱錐的體積公式，即可得到結(jié)論．

解答：（Ⅰ）證明：∵三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，
∵AB⊥BC，PA∩AB=A
∴BC⊥平面PAB
∵BC?平面PBC
∴平面PAB⊥平面PBC；
（Ⅱ）解：∵三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PB與底面ABC成60°角，
∴∠PBA=60°
∵PA=

6

，PC=3，
∴AB=

2

，AC=

3

∴BC=1
∴三棱錐P-ABC的體積為

1

3

×

1

2

×

2

×1×

6

=

3

3

．

點(diǎn)評：本題考查線面垂直、面面垂直的判定定理，考查三棱錐體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．