Question

A島正南40海里處的洋面B上有一條走私船．它正以海里/小時(shí)的速度朝北偏東的方向作勻速直線方向逃走．3小時(shí)后有關(guān)部門接到報(bào)警并派輯私船從A島出發(fā)追擊走私船．如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，
（1）寫出3小時(shí)后走私船Q₁的坐標(biāo)以及t小時(shí)后走私船Q_t的坐標(biāo)
（2）已知輯私船的最大航速度為海里/小時(shí)，并假設(shè)走私船在逃走時(shí)不改變它的航向，輯私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？并求出所需時(shí)間?

Answer 1

解：以A為原點(diǎn)，BA所在直線為y軸建立如圖所示的坐標(biāo)系．
設(shè)在t時(shí)刻甲、乙兩船分別在P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則由θ=arctan，可得cosθ=，sinθ=，
x₂=10tsinθ=10t，y₂=10tcosθ-40=20t-40．
（1）Q點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（30，20）；Q_t（10t，20t-40）（3+3分）
（2）由θ=arctan，可得cosθ=，
（3分）
2t²-176t+272=0，（舍去）（2分）
所以所需時(shí)間4-3=1小時(shí)，（1分）
此時(shí)Q'（40，40），所以方向北偏東45⁰（2分）
分析：（1）先求出t時(shí)刻甲、乙兩船對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)；直接把t=3代入即可求出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）先根據(jù)余弦定理得到關(guān)于時(shí)間的等式，再解方程求出對(duì)應(yīng)的時(shí)間，進(jìn)而求出對(duì)應(yīng)的方向．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用．解此類題常需將它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型．在設(shè)計(jì)方案時(shí)，應(yīng)以簡便、合理為原則．