Question

已知數(shù)列{x_n}和{y_n}的通項(xiàng)公式分別為xn=an和yn=(a+1)n+b，n∈N+．
（1）當(dāng)a=3，b=5時(shí)，
①試問：x₂，x₄分別是數(shù)列{y_n}中的第幾項(xiàng)？
②記cn=xn2，若c_k是{y_n}中的第m項(xiàng)（k，m∈N⁺），試問：c_k+1是數(shù)列{y_n}中的第幾項(xiàng)？請(qǐng)說明理由；
（2）對(duì)給定自然數(shù)a≥2，試問是否存在b∈{1，2}，使得數(shù)列{x_n}和{y_n}有公共項(xiàng)？若存在，求出b的值及相應(yīng)的公共項(xiàng)組成的數(shù)列{z_n}，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）由條件可得xn=3n，y_n=4n+5．①令x₂=9=y_m=4m+5，得m=1，令x₄=81=y_k=4k+5，得k=19，由此能得到x₂，x₄分別是數(shù)列{y_n}中的第幾項(xiàng)．②由題意知，cn=32n，由c_k為數(shù)列{y_n}中的第m項(xiàng)，則有3^2k=4m+5，由此得到c_k+1是數(shù)列{y_n}中的第9m+10項(xiàng)．
（2）設(shè)在{1，2}上存在實(shí)數(shù)b使得數(shù)列{x_n}和{y_n}有公共項(xiàng)，所以t=

as-b

a+1

，因自然數(shù)a≥2，s，t為正整數(shù)，故a^s-b能被a+1整除．由此入手能夠推導(dǎo)出存在b∈{1，2}，使得數(shù)列{x_n}和{y_n}有公共項(xiàng)．

解答：解：（1）由條件可得xn=3n，y_n=4n+5．
①令x₂=9=y_m=4m+5，得m=1，故x₂是數(shù)列{y_n}中的第1項(xiàng)．
令x₄=81=y_k=4k+5，得k=19，故x₄是數(shù)列{y_n}中的第19項(xiàng)．  …（2分）
②由題意知，cn=32n，由c_k為數(shù)列{y_n}中的第m項(xiàng)，則有3^2k=4m+5，
那么ck+1=32(k+1)=9×32k=9×(4m+5)=36m+45=4(9m+10)+5，
因9m+10∈N^*，所以c_k+1是數(shù)列{y_n}中的第9m+10項(xiàng)．           …（8分）
（2）設(shè)在{1，2}上存在實(shí)數(shù)b使得數(shù)列{x_n}和{y_n}有公共項(xiàng)，
即存在正整數(shù)s，t使a^s=（a+1）t+b，∴t=

as-b

a+1

，
因自然數(shù)a≥2，s，t為正整數(shù)，∴a^s-b能被a+1整除．
①當(dāng)s=1時(shí)，t=

as-b

a+1

＜

a

a+1

∉N*．   ②當(dāng)s=2n（n∈N^*）時(shí)，
當(dāng)b=1時(shí)，

as-b

a+1

=

a2n-1

a+1

=-

1-a2n

1-(-a)

=-[1+(-a)+(-a)2+…+(-a)2n-1]=（a-1）[1+a²+a⁴…+a^2n-2]∈N^*，即a^s-b能被a+1整除．
此時(shí)數(shù)列{x_n}和{y_n}有公共項(xiàng)組成的數(shù)列{z_n}，通項(xiàng)公式為zn=22n（n∈N^*）．
顯然，當(dāng)b=2時(shí)，

as-b

a+1

=

a2n-2

a+1

=

a2n-1

a+1

-

1

a+1

∉N*，即a^s-b不能被a+1整除．
③當(dāng)s=2n+1（n∈N^*）時(shí)，t=

as-b

a+1

=

a(a2n- b a )

a+1

，
若a＞2，則a2n-

b

a

∉N*，又a與a+1互質(zhì)，故此時(shí)t=

a(a2n- b a )

a+1

∉N*．
若a=2，要a2n-

b

a

∈N*，則要b=2，此時(shí)a2n-

b

a

=a2n-1，
由②知，a²ⁿ-1能被a+1整除，故t=

a(a2n- b a )

a+1

∈N*，即a^s-b能被a+1整除．
當(dāng)且僅當(dāng)b=a=2時(shí)，a^S-b能被a+1整除．
此時(shí)數(shù)列{x_n}和{y_n}有公共項(xiàng)組成的數(shù)列{z_n}，通項(xiàng)公式為zn=22n+1（n∈N^*）．
綜上所述，存在b∈{1，2}，使得數(shù)列{x_n}和{y_n}有公共項(xiàng)組成的數(shù)列{z_n}，
且當(dāng)b=1時(shí)，數(shù)列zn=a2n（n∈N^*）；當(dāng)b=a=2時(shí)，數(shù)列zn=22n+1（n∈N^*）．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．