已知數(shù)列{xn}和{yn}的通項(xiàng)公式分別為
(1)當(dāng)a=3,b=5時(shí),
①試問(wèn):x2,x4分別是數(shù)列{yn}中的第幾項(xiàng)?
②記,若ck是{yn}中的第m項(xiàng)(k,m∈N+),試問(wèn):ck+1是數(shù)列{yn}中的第幾項(xiàng)?請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)對(duì)給定自然數(shù)a≥2,試問(wèn)是否存在b∈{1,2},使得數(shù)列{xn}和{yn}有公共項(xiàng)?若存在,求出b的值及相應(yīng)的公共項(xiàng)組成的數(shù)列{zn},若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】分析:(1)由條件可得,yn=4n+5.①令x2=9=ym=4m+5,得m=1,令x4=81=yk=4k+5,得k=19,由此能得到x2,x4分別是數(shù)列{yn}中的第幾項(xiàng).②由題意知,,由ck為數(shù)列{yn}中的第m項(xiàng),則有32k=4m+5,由此得到ck+1是數(shù)列{yn}中的第9m+10項(xiàng).
(2)設(shè)在{1,2}上存在實(shí)數(shù)b使得數(shù)列{xn}和{yn}有公共項(xiàng),所以,因自然數(shù)a≥2,s,t為正整數(shù),故as-b能被a+1整除.由此入手能夠推導(dǎo)出存在b∈{1,2},使得數(shù)列{xn}和{yn}有公共項(xiàng).
解答:解:(1)由條件可得,yn=4n+5.
①令x2=9=ym=4m+5,得m=1,故x2是數(shù)列{yn}中的第1項(xiàng).
令x4=81=yk=4k+5,得k=19,故x4是數(shù)列{yn}中的第19項(xiàng).  …(2分)
②由題意知,,由ck為數(shù)列{yn}中的第m項(xiàng),則有32k=4m+5,
那么
因9m+10∈N*,所以ck+1是數(shù)列{yn}中的第9m+10項(xiàng).           …(8分)
(2)設(shè)在{1,2}上存在實(shí)數(shù)b使得數(shù)列{xn}和{yn}有公共項(xiàng),
即存在正整數(shù)s,t使as=(a+1)t+b,∴,
因自然數(shù)a≥2,s,t為正整數(shù),∴as-b能被a+1整除.
①當(dāng)s=1時(shí),.   ②當(dāng)s=2n(n∈N*)時(shí),
當(dāng)b=1時(shí),=(a-1)[1+a2+a4…+a2n-2]∈N*,即as-b能被a+1整除.
此時(shí)數(shù)列{xn}和{yn}有公共項(xiàng)組成的數(shù)列{zn},通項(xiàng)公式為(n∈N*).
顯然,當(dāng)b=2時(shí),,即as-b不能被a+1整除.
③當(dāng)s=2n+1(n∈N*)時(shí),
若a>2,則,又a與a+1互質(zhì),故此時(shí)
若a=2,要,則要b=2,此時(shí),
由②知,a2n-1能被a+1整除,故,即as-b能被a+1整除.
當(dāng)且僅當(dāng)b=a=2時(shí),aS-b能被a+1整除.
此時(shí)數(shù)列{xn}和{yn}有公共項(xiàng)組成的數(shù)列{zn},通項(xiàng)公式為(n∈N*).
綜上所述,存在b∈{1,2},使得數(shù)列{xn}和{yn}有公共項(xiàng)組成的數(shù)列{zn},
且當(dāng)b=1時(shí),數(shù)列(n∈N*);當(dāng)b=a=2時(shí),數(shù)列(n∈N*).…(16分)
點(diǎn)評(píng):本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用,綜合性強(qiáng),難度大,有一定的探索性,對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高,是高考的重點(diǎn).解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答.
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②記cn=xn2,若ck是{yn}中的第m項(xiàng)(k,m∈N+),試問(wèn):ck+1是數(shù)列{yn}中的第幾項(xiàng)?請(qǐng)說(shuō)明理由;
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