【題目】已知函數(shù) f(x)=ax2+2x﹣lnx(a∈R).
(Ⅰ)若 a=4,求函數(shù) f(x)的極值;
(Ⅱ)若 f′(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有唯一的零點 x0,求 a 的取值范圍.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】分析:(1)當(dāng)a=4時,化簡函數(shù)的解析式,求出定義域,函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求出極值點,利用導(dǎo)函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性,求解極值即可;
(2)方法一:利用,通過導(dǎo)函數(shù)為0,構(gòu)造新函數(shù),通過分類討論求解即可.
方法二:令,由得,設(shè),則,,問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象在恰有一個交點問題,即可求a 的取值范圍.
詳解:(Ⅰ)當(dāng) a=4 時,f(x)=4x2+2x﹣lnx,x∈(0,+∞),
由 x∈(0,+∞),令 f'(x)=0,得.
當(dāng) x 變化時,f'(x),f(x)的變化如下表:
x | |||
f'(x) | ﹣ | 0 | + |
f(x) | ↘ | 極小值 | ↗ |
故函數(shù) f(x)在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,f(x)有極小值, 無極大值.…
(Ⅱ)解法一,
令 f'(x)=0,得 2ax2+2x﹣1=0,設(shè) h(x)=2ax2+2x﹣1.
則 f'(x)在(0,1)有唯一的零點 x0 等價于 h(x)在(0,1)有唯一的零點 x0
當(dāng) a=0 時,方程的解為,滿足題意
當(dāng) a>0 時,由函數(shù) h(x)圖象的對稱軸,函數(shù) h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增, 且 h(0)=﹣1,h(1)=2a+1>0,所以滿足題意;
當(dāng) a<0,△=0 時,,此時方程的解為 x=1,不符合題意; 當(dāng) a<0,△≠0 時,由 h(0)=﹣1,
只需 h(1)=2a+1>0,得
(說明:△=0 未討論扣 1 分)
解法二:
(Ⅱ),
令 f'(x)=0,由 2ax2+2x﹣1=0,得.
設(shè),則 m∈(1,+∞),,
問題轉(zhuǎn)化為直線 y=a 與函數(shù)的圖象在(1,+∞)恰有一個交點問題. 又當(dāng) m∈(1,+∞)時,h(m)單調(diào)遞增,
故直線 y=a 與函數(shù) h(m)的圖象恰有一個交點,當(dāng)且僅當(dāng). …
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【題目】下列說法正確的是( )
A. 兩個變量的相關(guān)關(guān)系一定是線性相關(guān)
B. 兩個隨機變量的線性相關(guān)線越強,則相關(guān)系數(shù)的絕對值就越接近于0
C. 在回歸直線方程中,當(dāng)解釋變量每增加1個單位時,預(yù)報變量平均增加1個單位
D. 對分類變量與,隨機變量的觀測值越大,則判斷“與有關(guān)系”的把握程度越大
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【題目】已知橢圓 =1(a>b>0)上的點到右焦點F的最小距離是 ﹣1,F(xiàn)到上頂點的距離為 ,點C(m,0)是線段OF上的一個動點.
(1)求橢圓的方程;
(2)是否存在過點F且與x軸不垂直的直線l與橢圓交于A、B兩點,使得( + )⊥ ,并說明理由.
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【題目】把函數(shù)y=sin(2x﹣ )的圖象向左平移 個單位后,所得函數(shù)圖象的一條對稱軸為( )
A.x=0
B.x=
C.x=
D.x=﹣
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【題目】為加快新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展,推進(jìn)節(jié)能減排,國家對消費者購買新能源汽車給予補貼,其中對純電動乘用車補貼標(biāo)準(zhǔn)如表:
新能源汽車補貼標(biāo)準(zhǔn) | |||
車輛類型 | 續(xù)駛里程R(公里) | ||
100≤R<180 | 180≤R<280 | <280 | |
純電動乘用車 | 2.5萬元/輛 | 4萬元/輛 | 6萬元/輛 |
某校研究性學(xué)習(xí)小組,從汽車市場上隨機選取了M輛純電動乘用車,根據(jù)其續(xù)駛里程R(單次充電后能行駛的最大里程)作出了頻率與頻數(shù)的統(tǒng)計表:
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
100≤R<180 | 3 | 0.3 |
180≤R<280 | 6 | x |
R≥280 | y | z |
合計 | M | 1 |
(1)求x、y、z、M的值;
(2)若從這M輛純電動乘用車任選3輛,求選到的3輛車?yán)m(xù)駛里程都不低于180公里的概率;
(3)如果以頻率作為概率,若某家庭在某汽車銷售公司購買了2輛純電動乘用車,設(shè)該家庭獲得的補貼為X(單位:萬元),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望值E(X).
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【題目】某服裝批發(fā)市場1-5月份的服裝銷售量與利潤的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表:
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
銷售量 (萬件) | 3 | 6 | 4 | 7 | 8 |
利潤 (萬元) | 19 | 34 | 26 | 41 | 46 |
(1)從這五個月的利潤中任選2個,分別記為, ,求事件“, 均不小于30”的概率;
(2)已知銷售量與利潤大致滿足線性相關(guān)關(guān)系,請根據(jù)前4個月的數(shù)據(jù),求出關(guān)于的線性回歸方程;
(3)若由線性回歸方程得到的利潤的估計數(shù)據(jù)與真實數(shù)據(jù)的誤差不超過2萬元,則認(rèn)為得到的利潤的估計數(shù)據(jù)是理想的.請用表格中第5個月的數(shù)據(jù)檢驗由(2)中回歸方程所得的第5個月的利潤的估計數(shù)據(jù)是否理想.參考公式: .
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【題目】已知函數(shù)f(x)=|x﹣2|+2|x+1|的最小值為m.
(1)求m的值;
(2)若a、b、c∈R, +c2=m,求c(a+b)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】候鳥每年都要隨季節(jié)的變化而進(jìn)行大規(guī)模地遷徙,研究某種鳥類的專家發(fā)現(xiàn),該種鳥類的飛行速度v(單位:m/s)與其耗氧量M之間的關(guān)系為:,(其中a,b是實數(shù)),據(jù)統(tǒng)計,該種鳥類在靜止的時間其耗氧量為45個單位,而其耗氧量為105個單位時,其飛行速度為1m/s.
(1)求出a,b的值;
(2)若這種鳥類為趕路程,飛行的速度不能低于2m/s,則其耗氧量至少要多少個單位。
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