Question

（本小題滿分14分）

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.如圖，ABCD是梯形，AB//CD，，PA⊥面ABCD，         

且AB=1，AD=1，CD=2，PA=3，E為PD的中點(diǎn)
（Ⅰ）求證：AE//面PBC.
（Ⅱ）求直線AC與PB所成角的余弦值；

（Ⅲ）在面PAB內(nèi)能否找一點(diǎn)N，使NE⊥面PAC. 若存在，找出并證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）取PC中點(diǎn)為F，連結(jié)EF，BF                         

又E為PD的中點(diǎn)，所以且
所以EF//AB，且EF=AB，所以ABFE為平行四邊形                   …2分
所以AE//BF， 因?yàn)锳E面PBC，所以AE//面PBC                 …4分
（Ⅱ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則    A、B、C、D、P、E的坐標(biāo)分別為A（0，0，0），
B（1，0，0），C（2，1，0），D（0，1，0），
（0，0，3），E（0，，）…5分
從而=（2，1，0），=（1，0，）
設(shè)與的夾角為，則
， …7分
∴AC與PB所成角的余弦值為               …8分
（Ⅲ）法1：由于N點(diǎn)在面PAB內(nèi)，故可設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0，z），
則  由NE⊥面PAC可得：    …10分
即
化簡(jiǎn)得  即N點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0，）  
所以在面PAB內(nèi)存在點(diǎn)N（，0，），使NE⊥面PAC.      …14分
（Ⅲ）法2：在面ABCD內(nèi)過(guò)D作AC的垂線交AB于G，連PG，
設(shè)N為PG的中點(diǎn)，連NE，則NE//DG，                         …10分
∵DG⊥AC，DG⊥PA，∴DG⊥面PAC 從而NE⊥面PAC          …14分

解析