Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=qa_n+2q-2（q為常數(shù)，|q|＜1），若a₃，a₄，a₅，a₆∈{-26，-56，-2，34，79}，則a₁=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，得a_n+1+2=q（a_n+2），從而得到a_n+2與a_n+1+2的關(guān)系，分a_n=-2和a_n≠-2討論，當(dāng)a_n≠-2時(shí)構(gòu)造等比數(shù)列{a_n+2}，公比為q．計(jì)算可得答案．

解答： 解：∵a_n+1=qa_n+2q-2
∴a_n+1+2=q（a_n+2），n=1，2，…，
①當(dāng)a_n=-2時(shí)，顯然有a₃=a₄=a₅=a₆=-2∈{-26，-56，-2，34，79}，
此時(shí)a₁=-2．
②當(dāng)a_n≠-2時(shí)，{a_n+2}為等比數(shù)列，且公比q=

an+1+2

an+2

，（q為常數(shù)，|q|＜1），
又∵a₃，a₄，a₅，a₆∈{-26，-56，-2，34，79}，
∴a₃+2，a₄+2，a₅+2，a₆+2∈{-24，-54，0，36，81}，
∵a_n≠-2，所以a_n+2≠0，又|q|＜1，
從而a₃+2=81，a₄+2=-54，a₅+2=36，a₆+2=-24，
則公比q=

-54

81

=-

2

3

，
則a₃+2=（a₁+2）（-

2

3

）²，
即（a₁+2）×

4

9

=81，
解得a₁=

721

4

，
綜上a₁=-2或a₁=

721

4

．
故答案為：-2或

721

4

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查遞推數(shù)列的應(yīng)用，根據(jù)數(shù)列的特點(diǎn)利用構(gòu)造法，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．注意要進(jìn)行分類討論．